2018-2019学年湖南省长沙市雨花区南雅中学八下期末数学试卷

这是一份2018-2019学年湖南省长沙市雨花区南雅中学八下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列函数是二次函数的是
A. y=3x−4B. y=ax2+bx+c
C. y=x+12−5D. y=1x2

2. 若函数 y=k−1x+b+2 是正比例函数，则
A. k≠−1，b=−2B. k≠1，b=−2
C. k=1，b=−2D. k≠1，b=2

3. 若矩形的长和宽是方程 x2−7x+12=0 的两根，则矩形的对角线长度为
A. 5B. 7C. 8D. 10

4. 正比例函数 y=kxk≠0 的图象在第二、四象限，则一次函数 y=x+k 的图象大致是
A. B.
C. D.

5. 下列判断错误的是
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

6. “龟免首次赛跑“之后，输了比赛的免子总结惨痛教训后，决定和乌龟再赛一场，图中的函数图象刻画了“龟免再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y1 表示乌龟所行的路程，y2 表示兔子所行的路程），下列说法中正确的有
①“龟免再次赛跑”的路程为 1000 米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了 10 分钟；
④免子比乌龟早 10 分钟到达目的地．
A. 4B. 3C. 2D. 1

7. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了 2550 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为
A. xx+1=2550B. xx−1=2550
C. 2xx+1=2550D. xx−1=2550×2

8. 为参加学校举办的“诗意校园 ⋅ 致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是 90，方差是 2；小强五次成绩的平均数也是 90，方差是 14.8．下列说法正确的是
A. 小明的成绩比小强稳定
B. 小明、小强两人成绩一样稳定
C. 小强的成绩比小明稳定
D. 无法确定小明、小强的成绩谁更稳定

9. 已知直线 y=kx+3 经过点 A1,2 且与 x 轴交于点 B，点 B 的坐标是
A. −3,0B. 0,3C. 3,0D. 0,−3

10. 要由抛物线 y=2x2 得到抛物线 y=2x+12−3，则抛物线 y=2x2 必须
A. 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位
B. 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
C. 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位
D. 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位

11. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，则下列结论：
（1）a+b+c>0；
（2）方程 ax2+bx+c=0 两根之和大于零；
（3）y 随 x 的增大而增大；
（4）一次函数 y=x+bc 的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

12. 如图 1，在平面直角坐标系中，将平行四边形 ABCD 放置在第一象限，且 AB∥x 轴．直线 y=−x 从原点出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 l 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图 2，那么平行四边形 ABCD 的面积为
A. 45B. 4C. 85D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 在平行四边形 ABCD 中，AB=6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P 是 BC 边上一点，且 OP∥AB，则 OP 的长为 ．

14. 函数 y=−12x+1 的图象不经过第 象限．

15. 菱形 ABCD 中，且 AC=6，BD=8，则 S菱形ABCD= ．

16. 若关于 x 的方程 x2+mx+7=0 有一个根为 1，则该方程的另一根为 ．

17. 如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点 A1,0，B3,2，不等式 x2+bx+c
18. 如图，以 △ABC 的三边为边分别作等边 △ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：
① △EBF≌△DFC；
②四边形 AEFD 为平行四边形；
③当 AB=AC，∠BAC=120∘ 时，四边形 AEFD 是正方形．
其中正确的结论是 （请写出正确结论的序号）．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 已知抛物线 y=x2−4x+3．
（1）求该抛物线与 y 轴的交点坐标；
（2）求该抛物线与 x 轴的交点坐标．

20. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF，∠AEB=∠DFC．求证：四边形 ABCD 为平行四边形．

21. 已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）中的 x 和 y 满足下表：
x⋯012345⋯y⋯30−10m8⋯
（1）可求得 m 的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当 0
22. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的两实数根为 x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．该结论称为一元二次方程根与系数的关系，这个关系经常用来求一些代数式的值，请完成下列各题：
（1）已知：x1，x2 是方程 x2−4x+2=0 的两个实数根，求 x1−1x2−1 值；
（2）若 m，n 是方程 x2−x−2016=0 的两个实数根，求代数式 m2+2m+3n 的值．

23. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校 700 名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题．
（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ，图①中 m 的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款为 10 元的学生人数．

24. 某商店原来平均每天可销售某种水果 100 千克，每千克可盈利 7 元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价 1 元，则每天可所多售出 20 千克．
（1）设每千克水果降价 x 元，平均每天盈利 y 元，试写出 y 关于 x 的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利 400 元，则每千克应降价多少元?
（3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多?最多盈利多少元?

25. 如图，已知直线 y=−34x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90∘．
（1）求 △AOB 的面积；
（2）求点 C 坐标；
（3）点 P 是 x 轴上的一个动点，设 Px,0，
① 请用 x 的代数式表示 PB2，PC2；
② 是否存在这样的点 P，使得 ∣PC−PB∣ 的值最大?如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出点 P 的坐标 ．

26. 如图，抛物线 y=ax2+2x+ca<0 与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左侧，点 B 在原点的右侧），与 y 轴交于点 C，OB=OC=3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图 1，连接 BC，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD，CD．OD 交 BC 于点 F，当 S△COF:S△CDF=3:2 时，求点 D 的坐标．
（3）如图 2，点 E 的坐标为 0,−32，点 P 是抛物线上的点，连接 EB，PB，PE 形成的 △PBE 中，是否存在点 P，使 ∠PBE 或 ∠PEB 等于 2∠OBE?若存在，请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】A、 y=3x−4，是一次函数，错误；
B、 y=ax2+bx+c，当 a=0 时，不是二次函数，错误；
C、 y=x+12−5，是二次函数，正确，
D、 y=1x2，不是二次函数，错误．
2. B【解析】∵y=k−1x+b+2 是正比例函数，
∴k−1≠0，b+2=0，
解得；k≠1，b=−2．
3. A【解析】设矩形的长和宽分别为 a，b，则 a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长 =a2+b2=a+b2−2ab=72−2×12=5．
4. B【解析】∵ 正比例函数 y=kxk≠0 的图象在第二、四象限，
∴k<0，
∴ 一次函数 y=x+k 的图象与 y 轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有B选项正确．
5. D
【解析】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
6. B【解析】由图象可得，“龟免再次赛跑”的路程为 1000 米，故①正确，
兔子和乌龟不是同时从起点出发，乌龟先出发的，故②错误，
乌龟在途中休息了 40−30=10 分钟，故③正确，
免子比乌龟早 10 分钟到达目的地，故④正确．
7. B【解析】∵ 全班有 x 名学生，
∴ 每名学生应该送的相片为 x−1 张，
∴xx−1=2550．
8. A【解析】∵ 小明五次成绩的平均数是 90，方差是 2；
小强五次成绩的平均数也是 90，方差是 14.8．
平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定，
9. C【解析】∵ 直线 y=kx+3 经过点 A1,2，
∴2=k+3，解得：k=−1，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+3，
当 y=0 时，x=3，
∴ 点 B 的坐标为 3,0．
10. A
【解析】抛物线 y=2x2 必须向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位才得到 y=2x+12−3．
11. C【解析】（1）利用图象可知，x=1 时函数值在 x 轴上方，
∴a+b+c>0，故此选项正确；
（2）结合图象可知方程 ax2+bx+c=0 两根之和大于零，故此选项正确；
（3）y 随 x 的增大而增大，根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；
（4）一次函数 y=x+bc 的图象一定不过第二象限，结合图象可知 b<0，c<0，
∴bc>0，
∴ 一次函数 y=x+bc 的图象一定不过第四象限，故此选项错误．
12. D【解析】根据图象可以得到当移动的距离是 4 时，直线经过点 A，
当移动距离是 7 时，直线经过 D，
在移动距离是 8 时，经过 B，则 AB=8−4=4．
如图 1，当直线经过 D 点，设交 AB 与 N，
则 DN=22，作 DM⊥AB 于点 M．
∵y=−x 与 x 轴形成的角是 45∘，
又 ∵AB∥x 轴，
∴∠DNM=45∘，
∴DM=DN⋅sin45∘=22×22=2，
则平行四边形的面积是 AB⋅DM=4×2=8．
第二部分
13. 3
【解析】如图：
∵ 平行四边形 ABCD，
∴AO=OC，
∵OP∥AB，
∴OP 是 △ABC 的中位线，
∴OP=12AB=12×6=3．
14. 三
【解析】∵ 一次函数 y=−12x+1 中 k=−12<0，b=1>0，
∴ 此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
15. 24
【解析】∵ 菱形 ABCD 中，且 AC=6，BD=8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=24．
16. 7
【解析】设方程的另一根为 x1，
根据题意得：1×x1=7，
解得：x1=7．
17. 1【解析】依题意得求关于 x 的不等式 x2+bx+c18. ①②
【解析】∵△ABE，△BCF 为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60∘．
∴∠ABE−∠ABF=∠FBC−∠ABF，即 ∠CBA=∠FBE．
在 △ABC 和 △EBF 中，
AB=EB,∠CBA=∠FBE,BC=BF,
∴△ABC≌△EBFSAS．
∴EF=AC．
又 ∵△ADC 为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC．
同理可得 △ABC≌△DFC．
∴DF=AB=AE=DF．
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA=∠ADF．
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即 ∠FEB=∠CDF．
在 △FEB 和 △CDF 中，
EF=DC,∠FEB=∠CDF,EB=FD.
∴△FEB≌△CDFSAS，选项①正确；
若 AB=AC，∠BAC=120∘，
则有 AE=AD，∠EAD=120∘，此时 AEFD 为菱形，选项③错误．
第三部分
19. （1） 当 x=0 时，y=x2−4x+3=3，
所以该抛物线与 y 轴的交点坐标为 0,3．
（2） 当 y=0 时，x2−4x+3=0，
解得 x1=1，x2=3，
所以该抛物线与 x 轴的交点坐标为 1,0，3,0．
20. ∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在 △AEB 和 △CFD 中，
∠DCF=∠EAB,AE=CF,∠DFC=∠AEB,
∴△AEB≌△CFDASA，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形．
21. （1） 3
【解析】根据题意得：c=3,a+b+c=0,4a+2b+c=−1,
解得：a=1,b=−4,c=3,
则函数的解析式是：y=x2−4x+3，
当 x=4 时，m=16−16+3=3．
（2） 根据题意得：c=3,a+b+c=0,4a+2b+c=−1,
解得：a=1,b=−4,c=3,
则函数的解析式是：y=x2−4x+3．
（3） −1≤y<3
【解析】函数的顶点坐标是：2,−1，
当 022. （1） 由题意可知：x1+x2=4，x1x2=2，
∴原式=x1x2−x1+x2+1=2−4+1=−1.
（2） 由题意可知：m+n=1，mn=−2016，
∵m2−m−2016=0，
∴m2−m=2016，
∴原式=m2−m+3m+3n=2016+3×1=2019.
23. （1） 50；32
【解析】本次随机抽样调查的学生人数为 4÷8%=50（人），
1−24%−20%−16%−8%=32%，
∴m=32．
（2） 本次调查获取的样本数据的平均数：4×5+10×16+15×12+20×10+30×8÷50=16（元），
求本次调查获取的样本数据的众数是 10，
本次调查获取的样本数据的中位数是 15．
（3） 该校本次活动捐款为 10 元的学生人数为 700×32%=224（人）．
24. （1） 根据题意得：
y=100+20x×7−x=−20x2+40x+700.
（2） 令 y=−20x2+40x+700 中 y=400，则有：400=−20x2+40x+700，
即 x2−2x−15=0，
解得：x1=−3（舍去），x2=5．
所以若要平均每天盈利 400 元，则每千克应降价 5 元．
（3） y=−20x2+40x+700=−20x−12+720，
所以每千克降价 1 元时，每天的盈利最多，最多盈利多，720 元．
25. （1） 由直线 y=−34x+3，令 y=0，得 OA=x=4，令 x=0，得 OB=y=3，
∴S△AOB=12×4×3=6．
（2） 过 C 点作 CD⊥x 轴，垂足为 D，
∵∠BAO+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，
∴∠BAO=∠ACD，
又 ∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90∘，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，
则 OD=4+3=7，
∴C7,4．
（3） ① 由（2）可知，PD=∣7−x∣，
在 Rt△OPB 中，PB2=OP2+OB2=x2+9，
Rt△PCD 中，PC2=PD2+CD2=7−x2+16=x2−14x+65；
② −21,0
【解析】② 存在这样的 P 点，延长 BC 交 x 轴于 P，
设直线 BC 解析式为 y=kx+b，将 B，C 两点坐标代入，
得 b=3,7k+b=4,
解得 k=17,b=3,
∴ 直线 BC 解析式为 y=17x+3，
令 y=0，得 P−21,0，此时 ∣PC−PB∣ 的值最大．
26. （1） OB=OC=3，则 B3,0，C0,3．
把 B，C 坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为 y=−x2+2x+3. ⋯⋯①
（2） ∵S△COF:S△CDF=3:2，
∴S△COF=35S△COD，即：xD=53xF．
设 F 点横坐标为 3t，则 D 点横坐标为 5t，
点 F 在直线 BC 上，
而 BC 所在的直线表达式为 y=−x+3，则 F3t,3−3t，
则直线 OF 所在的直线表达式为 y=3−3t3tx=1−ttx，则点 D5t,5−5t，
把 D 点坐标代入 ①，解得：t=15 或 25，
则点 D 的坐标为 1,4 或 2,3．
（3） 点 P 的坐标为：1,4 或 −12,74 或 −132,−2094 或 5+974,−17+978．
【解析】（1）当 ∠PEB=2∠OBE 时，当 BP 在 x 轴上方时，
如图 2，设 BP1 交 y 轴于点 Eʹ，
∴∠P1BE=2∠OBE，
∴∠EʹBO=∠EBO，又 ∠EʹOB=∠EBO=60∘，BO=BO，
∴△EʹBO≌△EBOAAS．
∴EO=EO=32，
∴ 点 Eʹ0,32．
直线 BP1 过点 B，Eʹ，则其直线方程为 y=−12x+32. ⋯⋯②
联立 ①② 并解得 x=−12，故点 P1 的坐标为 −12,74；
当 BP 在 x 轴下方时，
如图 2，过点 E 作 EF∥BEʹ 交 BP2 于点 F，则 ∠FEB=∠EBEʹ．
∴∠EʹBE=2∠OBE，∠EBP2=2∠OBE，
∴∠FEB=∠EBF．
∴FE=BF．
直线 EF 可以看成直线 BEʹ 平移而得，其 k 值为 −12，
则其直线表达式为 y=−12x−32，
设点 Fm,−12m−32，过点 F 作 FH⊥y 轴交于点 H，作 BK⊥HF 于点 K，
则点 H0,−12m−32，K3,−12m−32，
∵EF=BF，则 FE2=BF2，
即 m2+−32+12m+322=3−m2+12m+322，
解得 m=52，则点 F52,−114，
则直线 BF 的表达式为 y=112x−332. ⋯⋯③
联立 ①③ 并解得 x=−132 或 3（舍去 3），
则点 P2−132,−2094；
（2）当 ∠PBE=2∠OBE 时，当 EP 在 BE 上方时，
如图 3，点 Eʹ 为图 2 所求，设 BEʹ 交 EP3 于点 F，
∵∠EBEʹ=2∠OBE，
∴∠EBEʹ=∠P3EB，
∴FE=BF，
由（1）知，直线 BEʹ 的表达式为 y=−12x+32，
设点 Fn,−12n+32，K3,−12n+32，
由 FE=BF，同理可得 n=12，
故点 F12,54，
则直线 EF 的表达式为 y=112x−32. ⋯⋯④
联立 ①④ 并解得 n=1 或 −92（舍去负值），
∴P31,4；
当 EP 在 BE 下方时，同理可得 x=5±974（舍去负值），
故点 P45+974,−17+978．
故点 P 的坐标为：1,4 或 −12,74 或 −132,−2094 或 5+974,−17+978．