2013-2014学年高一数学 第一章 1.3.1《单调性与最大(小)》第2课时目标导学 新人教A版必修1练习题

这是一份2013-2014学年高一数学 第一章 1.3.1《单调性与最大(小)》第2课时目标导学 新人教A版必修1练习题，共4页。
数学人教A必修1第一章1．3.1　单调性与最大(小)第2课时1．理解函数最大值和最小值的概念，明确定义中“任意”和“存在”表达的含义．2．能借助于图象和单调性，求一些简单函数的最值．3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．1．最大值和最小值 最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)______Mf(x)______M存在x0I，使得______结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最____点的纵坐标f(x)图象上最____点的纵坐标(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(xR)的最大值为0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．【做一做1】 在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数满足f(x)≥M，则(　　)．A．函数y＝f(x)的最小值为M             B．函数y＝f(x)的最大值为MC．函数y＝f(x)无最小值                 D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值2．最值定义函数的______和______统称为函数的最值几何意义函数y＝f(x)的最值是图象______或______的纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在定义域R上，当a＞0时，最小值是f，不存在最大值；当a＜0时，最大值是f，不存在最小值．【做一做2】 函数y＝－x2＋2x的最大值是______． 答案：1．≤　≥　f(x0)＝M　高　低【做一做1】 D2．最大值　最小值　最高点　最低点【做一做2】 1函数的最值与单调性的关系剖析：(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(3)若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，在[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．题型一  图象法求最值【例1】 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值．分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；(2)函数图象最低点的纵坐标是f(x)的最小值．反思：图象法求函数y＝f(x)最值的步骤：(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．题型二  利用函数单调性求最值【例2】 已知函数f(x)＝x＋，x[1,3]．(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值． (2)借助最值与单调性的关系，写出最值．反思：利用函数的单调性求函数最值的步骤：(1)判断函数f(x)的单调性； (2)借助最值与单调性的关系写出最值．题型三  应用问题【例3】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，则售价应为多少元？最大利润是多少？分析：设出售价及利润，建立利润与售价的函数关系式，具体如下：反思：解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，这里要注意自变量的取值范围．在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决． 答案：【例1】 解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝其图象如图所示． (2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.【例2】 解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2).∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.当1≤x1＜x2≤2时， 1＜x1x2＜4，∴＞1.∴1－＜0.∴f(x1)＞f(x2)，即f(x)在[1,2]上是减函数．当2≤x1＜x2≤3时，4＜x1x2＜9，∴0＜＜1.∴1－＞0.∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4，又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝＜f(1)，∴f(x)的最大值为5.【例3】 解：设售价为x元，利润为y元，则单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．则y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10(x－70)2＋9 000，当x＝70时，ymax＝9 000，即售价为70元时，利润最大为9 000元．1函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上的最大值是a，最小值是b，则a＋b＝__________.2函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是__________．3函数y＝－(x＋a)2＋1的最大值为__________．4把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值．5已知函数f(x)＝，(1)求证：函数f(x)在[2,3]上是增函数；(2)求f(x)在[2,3]上的最大值和最小值．答案：1． 4　∵函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上是增函数，∴a＝f(1)＝3，b＝f(0)＝1，则a＋b＝3＋1＝4.2. 2　画出该函数的图象，如图所示．观察知，函数图象最高点的纵坐标为2，则该函数的最大值为2.3． 1　∵－(x＋a)2≤0，∴y＝－(x＋a)2＋1≤1.4．解：设一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为＝(3－x)(cm)，两个正方形的面积和为S cm2，0＜x＜3.则S＝x2＋(3－x)2＝.当x＝时，S取最小值，即这两个正方形面积之和的最小值为cm2.5． (1)证明：设x1，x2是区间[2,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.∵2≤x1＜x2≤3，∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝在[2,3]上是增函数．(2)解：由(1)得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3)＝－1，最小值是f(2)＝－2.