数学：1.3.1.2《函数的最值》同步练习（新人教A版必修）

1.3.1.2函数的最值

一、选择题

1．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6       B．10,8

C．8,6        D．以上都不对

[答案]　A

[解析]　分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．

当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，

当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.

∴f(x)min＝f(－1)＝6，

f(x)max＝f(2)＝10.

故选A.

2．函数y＝x|x|的图象大致是(　　)

[答案]　A

[解析]　y＝，故选A.

3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元       B．60万元

C．120万元      D．120.25万元

[答案]　C

[解析]　设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，

∴公司获得利润

L＝－x2＋21x＋2(15－x)

＝－x2＋19x＋30.

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．

故选C.

[点评]　列函数关系式时，不要出现y＝－x2＋21x＋2x的错误．

4．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)

B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)

D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)

[答案]　A

[解析]　∵a＋b＞0 ∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数

∴f(a)＞f(－b) 且f(b)＞f(－a)故选A.

5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)     B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1)       D．(0,1]

[答案]　D

[解析]　∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1，

又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，

∴a>0，∴0<a≤1.

6．函数y＝(x≠2)的值域是(　　)

A．[2，＋∞)      B．(－∞，2]

C．{y|y∈R且y≠2}     D．{y|y∈R且y≠3}

[答案]　D

[解析]　y＝＝＝3＋，由于≠0，∴y≠3，故选D.

7．函数y＝f(x)的图象关于原点对称且函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上(　　)

A．为增函数，且最小值为－5

B．为增函数，且最大值为－5

C．为减函数，且最小值为－5

D．为减函数，且最大值为－5

[答案]　B

[解析]　由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.

8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有(　　)

A．最大值4，最小值0

B．最大值0，最小值－4

C．最大值4，最小值－4

D．最大值、最小值都不存在

[答案]　C

[解析]　y＝|x－3|－|x＋1|

＝，因此y∈[－4,4]，故选C.

9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)

A．f(－1)<f(1)<f(2)

B．f(1)<f(2)<f(－1)

C．f(2)<f(－1)<f(1)

D．f(1)<f(－1)<f(2)

[答案]　B

[解析]　因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．

又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)<f(2)<f(3)＝f(－1)．故选B.

10．(08·重庆理)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为

(　　)

A.　 　      B.　 　

C.　 　     D.

[答案]　C

[解析]　∵y≥0，∴y＝＋

＝　(－3≤x≤1)，

∴当x＝－3或1时，ymin＝2，当x＝－1时，ymax＝2，即m＝2，M＝2，∴＝.

二、填空题

11．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．

[答案]　－13

[解析]　函数y＝－x2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x＝2时，ymin＝－13.

12．已知函数f(x)在R上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋1)|<1成立的x的集合为________．

[答案]　{x|－1<x<2}

[解析]　由|f(x＋1)|<1得－1<f(x＋1)<1，即f(0)<f(x＋1)<f(3)，∵f(x)在R上是增函数，

∴0<x＋1<3∴－1<x<2

∴使不等式成立的x的集合为{x|－1<x<2}．

13．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．

[答案]　2

[解析]　∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n]，

又令－x2＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，

∴－1∈[m，n]或3∈[m，n]，

要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，此时|m－n|＝2.

三、解答题

14．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值．

[解析]　由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．

①∵f(x)＝－x2＋|x|＝

即f(x)＝

作出其在[－1,2]上的图象如右图所示

由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)．

②由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2.

15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

[解析]　(1)设月产量为x台，则总成本为u(x)＝20000＋100x，从而f(x)＝R(x)－u(x)，

即f(x)＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，

∴当x＝300时，有最大值25 000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.

答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．

16．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，

(1)证明函数f(x)为增函数．

(2)求f(x)的最小值．

[解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋＋2

①任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．

∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0，

又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.

∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．

故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．

②当x＝2时，f(x)有最小值.