《函数的基本性质——最大（小）值》教案3

这是一份《函数的基本性质——最大（小）值》教案3，共3页。
1．3函数的基本性质-----最大（小）值（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程问题1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0).      从而xR. 都有f (x) ≥f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.问题2．函数f (x) = –x2同理可知xR. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值.：1、函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f (x) ≤M.（2）存在x0∈I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.函数最小值概念：一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f (x)≥M.（2）存在x0∈I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值.２、例题分析例1．设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个     . （最小值）.例2．已知函数y =(x[2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =(x[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) ===. 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，　　于是    f (x1) – f (x2)＞0，　　即 f (x1)＞f (x2).所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数.  因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.例3．已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a =时，f (x) = x ++2　　因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，　∴a＞–3. 解法二：f (x) = x ++2  x[1，+∞).当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立.  故a＞–3.思考题：已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x∈[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.解：∵对称轴x = 1，　　（1）当1≥t +2即t≤–1时，　f (x)max­ = f (t) = t 2 –2t –3，　f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3，　　f (x)min= f (1) = – 4.（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，　f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，　　f (x)min = f (1) = – 4.（4）当1＜t，即t＞1时，　f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3，　　f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g (t) =　　　　　　　2 ．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.（1）求证f (x)是R上的减函数；（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得：  f (–x) = – f (x)，在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 　又∵x＞0时，f (x)＜0，　∴f (x1–x2)＜0，  即f (x1) – f (x2)＞0.由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2.  ∴f (–3) = – f (3) =2.即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.3．课堂小结：（1）．最值的概念（2）．应用图象和单调性求最值的一般步骤.４．作业：《习案》作业十      P166----P167。