人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系同步练习题

空间向量与立体几何

班级         姓名          学号         成绩        

一、选择题:

1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异

   面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定

   也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为

   ．其中正确命题的个数为                 

 A．0       B．1      C．2          D．3

2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是     

 A．有相同起点的向量     B．等长向量    

 C．共面向量       D．不共面向量

3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共

   面，则实数λ等于                                       

A．     B．     C．   D．

4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则  

 A．+－  B．－+  C．－++   D．－+－

5．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为

 A．30°     B．45°        C．60°    D．以上都不对

6． 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的

   中线长为                                               

A．2         B．3         C．4     D．5

7．已知 

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

8．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当

    取得最小值时，点Q的坐标为                                

A．    B．    C．   D．

二、填空题：

9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=              ．

10．已知向量，，，

则向量的坐标为　　　　　.

11．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，

 G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，

 以｛，，｝为基底，则＝              ．

12．设||＝1，||＝2，2＋与－3垂直，＝4－，

＝7＋2，  则<,>＝          ．

13.在空间直角坐标系O中,点P(2,3,4)在平面内的射影的坐标为          ;

 点P(2,3,4)关于平面的对称点的坐标为        ;

14. 已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=,OB=,OC=,

 用表示MN=                       .

三、解答题：

15．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，

 E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．

   （1）写出A、B1、E、D1的坐标；

   （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．  

16. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：

　　⑴线段AB的中点坐标和长度；

　　⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

17.用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．

求证：OA//BD．

18. （13分））已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量a分别与向量垂直，且|a|＝，求向量a的坐标。

19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

   （1）求证：EF∥平面PAD；

   （2）求证：EF⊥CD；

   （3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

20．如图正方体ABCD-中，E、F、G分别是、AB、BC的中点．

（1）证明：⊥EG；

（2）证明：⊥平面AEG；

（3）求，

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

9．       10．     11．    12．0°

 13. (2,3,0);(2,3,-4)      14.

三、解答题（本大题共6题，共80分）

15．.(13分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

  (2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) 

∴ ||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,

∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ．

∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为．

16. .(13分)解：⑴设是线段AB的中点，则

＝[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,,3)．

　　∴线段AB的中点坐标是(2,,3)．

　　．

⑵点到A、B两点距离相等，则

＝．

化简，得　．

即到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件是

．

17. .(13分)证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，

z轴的坐标向量，且设＝．

∵BD⊥α，　　∴⊥i，⊥j，

∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，

·j＝·(0,1,0)＝y＝0,

∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

18. .(13分)解：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设a＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1).

19．(14分) 证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，

BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，

 D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E为AB的中点，F为PC的中点 

 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)

(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)

 ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面

 又∵ E  平面PAD ∴ EF∥平面PAD．

(2) ∵ ＝(-2a, 0, 0 )∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 

∴ CD⊥EF．

(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即 b＝c， ∴ ＝(0, b, b)，

 ＝(0, 0, 2b) ∴ cos ，＝＝ ∴ ，＝ 45

∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量∴ EF与平面AC所成的角为：

90－，＝ 45．

20．（14分）解：以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D（0，0，0），

A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），

F（a，，0），G（，a，0）．

（1），，-a），，0，，

　　∵　，　∴　．

（2），a，），∴　．

　　∴　　∵　，∴　平面AEG．

（3）由，a，），＝（a，a，）