第一章 预备知识（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第一册）

第一章  预备知识

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知集合，，则集合与的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解方程，求出，根据元素即可判断与的关系.

【详解】

首先解方程，由 可得或（舍）

所以，可得.

故选：C.

【点睛】本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.

2．已知，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由交集的定义直接求解即可.

【详解】

，，

.故选：A.

【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.

3．已知集合，，则集合与的关系是（    ）

A．PM B． C．MP D．MP

【答案】A

【解析】

【分析】

根据，由题中条件，即可得出结果.

【详解】

因为，

即集合比集合多一个元素，

因此PM.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查集合间的关系，熟记集合间的包含关系即可，属于基础题型.

4．函数在上的最大值是（   ）

A．3 B．10 C．12 D．7

【答案】C

【解析】

【分析】

函数对称轴方程为，可得函数在上的单调性，从而可得出函数的最大值.

【详解】

二次函数对称轴方程为，开口向上.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

又，，.

函数在上的最大值是.

故选：C

【点睛】

本题考查求函数的最大值，属于基础题.

5．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据补集的运算法则，求出集合A的补集，再求交集即可得解.

【详解】

因为，，

所以.

故选：D

【点睛】

此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.

6．已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．无穷多个

【答案】B

【解析】

【分析】

先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.

【详解】

因为，，

所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，

故选：B

【点睛】

本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．下列叙述正确的是（  ）

A．函数的最小值是

B．“”是“”的充要条件

C．若命题，则

D．“已知，若，则都不大于1”的逆否命题是真命题

【答案】C

【解析】

【分析】

A，利用基本不等式分析判断；B，举反例判断得解；C，利用全称命题的否定分析判断得解；D，举反例判断得解.

【详解】

对于A: ，但是没有实数解，所以等号不成立，所以A错；

对于B：当时，也成立，所以B错；

对于C，命题，则，由全称命题的否定得该命题正确；

对于D:当时, 也成立，所以原命题错误，所以其逆否命题也错误，所以D错；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查全称命题的否定和基本不等式，考查充要条件和逆否命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．已知，求函数的最小值是    （   )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】

【分析】

整体代换，构造均值不等式．

【详解】

由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D

【点睛】

本体考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可．

9．若a，b，c，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用排除法和不等式的基本性质判断即可.

【详解】

由，得，可判断A错误；

由，得，可判断B错误；

由，，可判断C错误；

由不等式的性质， ，又，所以，即，可判断D正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查不等式的基本性质，利用带特殊值排除法是解题的关键，是基础题.

10．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

设另一根为t，结合韦达定理即可求解

【详解】

设方程的另一个根为t，

根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，

即方程的另一个根是﹣3．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题

11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】

∵0<t<1，∴>1，∴>t.

∴(t－x) >0⇔(x－t) <0⇔t<x<.

故选：D

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

12．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为，

要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，

可得函数在区间为单调函数，则满足或，

解得或，即实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知正实数满足，则的最大值是______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用均值不等式得到，再计算即可得到答案.

【详解】

正实数，则，则，

，则，

当时等号成立.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了均值不等式，意在考查学生的应用能力.属于较易题.

14．“”是“”的________条件．

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】

根据充分必要条件的定义判断．

【详解】

时一定能得出，故是充分的，但时不一定有，因此是不必要的．、所以就是充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分条件、必要条件的定义是解题关键．

15．，，若且为假命题，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

化简命题，，转化条件得，中至少有一个为假命题，即可得解.

【详解】

为真时，；为真时，.

“且”为假命题，

，中至少有一个为假命题，

或或，整理得或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.

16．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】

先求得函数的对称轴，要使函数在区间不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可．

【详解】

解：由已知函数的对称轴为，

又函数在区间上不是单调函数，

则必有，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题．

三、解答题

17．已知，求：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

【分析】

根据交集和并集的定义求解．

【详解】

∵，

∴，，

∴（1）．（2）．

（3）；（4）．

【点睛】

本题考查交集和并集的运算，属于基础题．

18．已知，.

（1）若，证明；

（2）若，证明：.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由基本不等式可得：，，，三个式子相加可得到结论；

（2）经过变形，不等式左边，故证明即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论.

【详解】

（1）依题意，，当且仅当时等号成立.

，当且仅当时等号成立.

，当且仅当时等号成立.

三式相加可得，，

即，当且仅当时等号成立.

（2）因为，所以.

而.

要证，即证，

即证，

而，

当且仅当，即时等号成立，所以.

【点睛】

本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

19．已知A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x| ≥0}，C＝{x|x2﹣mx+6＜0}且“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求解集合，和，根据条件可知，结合二次函数的图像，将端点值代入建立不等关系得到的取值范围.

【详解】

解：A＝{x|x2﹣6x+8≤0}＝[2，4]；

B＝{x|≥0}＝[1，+∞）；

∴A∩B＝[2，4]．

∵“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，

∴A∩B⊊C．

设f（x）＝x2﹣mx+6，

则f（2）＝4﹣2m+6＜0，f（4）＝16﹣4m+6＜0，

解得．

∴m的取值范围是

【点睛】

本题考查了充分必要条件求参数取值范围，涉及不等式的解法，以及利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，涉及一元二次不等式给定区间恒成立的问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题型.

20．已知二次函数，非空集合.

(1) 当时，二次函数的最小值为-1，求实数的取值范围；

(2) 是否存在整数的值，使得 “”是“二次函数的大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数的值，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)； (2)0，1，2，3，4.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象判断的取值范围；

（2）根据图象确定的取值范围，然后考虑的具体取值.

【详解】

(1)画出二次函数的图象，如图

当，二次函数的最小值为-1,则的取值范围为；

(2）“”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,同理由图象二次函数的

最大值为3，得，所以可以取的整数值为0、1、2、3、4均可.

（答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可）

【点睛】

本题考查充分条件与二次函数图象的结合，难度较易.判断过程中对于二次函数的值域可借助函数图象来分析.

21．已知关于的不等式．

(1)求不等式的解集；

(2)若，，求实数的取值范围.

【答案】(1) ，当时，；当时， ；当时， ；(2).

【解析】

【分析】

（1）通过因式分解得，，然后分3种情况，当，，时，分别求出不等式的解集；

（2）根据，列出不等式组，可确定实数的取值范围．

【详解】

(1) ，

当（）时，不等式解集为；

当（）时，不等式解集为；

当（）时，不等式解集为.

所以，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

(2)由上(1)，时，，所以，得，

所以，实数的取值范围.

【点睛】

本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围．

22．已知关于x的不等式

（1）若不等式的解集是，求k的值；

（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；

（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k的值；

(2)跟据题意解得即可,

(3)根据题意,得且,由此求出k的取值范围

【详解】

(1)∵不等式的解集是,

∴且-3和-2是方程的实数根,

由根与系数的关系,得,所以；

(2)不等式的解集是R,所以,解得

(3)不等式的解集为,得,解得

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目．