第一章 预备知识（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第一册）

第一章  预备知识

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1．对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：

①若，，则；②若，则；

③若，则；④若，则.

其中正确命题的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明．

【详解】

时，若，则，①错误；

若，则，②错误；

若，则，∴，③正确；

，若，仍然有，④错误．正确的只有1个．

故选：C．

【点睛】

本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．

2．对于集合A，B，定义，.设，，则中元素的个数为（    ）.

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据新定义，先计算差集，再计算．

【详解】

由已知，

∴.故选：C.

【点睛】

本题考查集合的新定义运算，解题关键是理解新定义运算，把新定义转化集合的交并补等已知运算求解．

3．已知，R，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特殊值判断ABD选项，根据不等式的性质判断C选项.

【详解】

当时，，，，则ABD错误；

当时，；当时，，即，则

综上，，则C正确；故选：C

【点睛】

本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题.

4．在R上的定义运算：则满足的解集为（    ）

A．(0，2) B．(-2，1) C．  D．(-1，2)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据运算：将，转化为，再利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】

因为运算：

所以，即，

解得.所以的解集为：(-2，1).

故选：B

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法和新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

5．方程组的解集是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由，，得.

，解得.代入得.

所以方程组的解集.

故选D.

点睛：集合的表示法：描述法，列举法，图示法，用列举法描述集合和，需要将元素一一列举，本题中，元素为二元方程组，元素为点集.

6．“”是“”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简后面的条件，然后通过重要不等式说明前者推出后者成立；反之通过举反例说明不成立．

【详解】

⇔a2+b2＞2ab⇔a≠b；

所以若a＞b成立，则a≠b，即；

反之若成立，即a≠b则a＞b不一定成立，还可能a<b；

所以“a＞b”是“”的充分不必要条件；

故选A．

【点睛】

本题考查了充要条件的定义及应用；考查了重要不等式成立的条件及举反例的方法，属于基础题．

7．若“”是“” 的（ ）条件 （ ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

由x2-3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的充分不必要条件．

解答：解：由x2-3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，

而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；

因此前者是后者的充分不必要条件．

故选A．

8．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要的条件是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a＞b的关系，可得答案．

【详解】

B选项是的充分不必要的条件；

A选项是的必要不充分条件；

C选项是的即不充分也不必要条件；

D选项是的充要条件；

故选B．

【点睛】

本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题．

9．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是    （   )

A．对于实数，有   B .梯形两条对角线相等

C．有小于1的自然数       D．函数的图象过定点

【答案】D

【解析】

【分析】

由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.

【详解】

选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.

【点睛】

本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.

10．已知集合，，则（   ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

得到，即可求出答案.

【详解】

因为

所以

所以

故选：C

【点睛】

本题考查的是集合的表示方法，较简单.

11．若，则下列不等式成立的是    （   )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

特殊值法；或作差法比较

【详解】

特殊值法：令

作差法：，又均值不等式，所以正确选项为B

【点睛】

本题考查不等式，选择题一般采用特殊值法．属于简单题．

12．已知全集，集合，N={x|1<x<3}，则图中的阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

阴影部分为集合的补集与集合的交集．

【详解】

由题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的运算，考查集合运算的Venn图表示，属于基础题．

第II卷（非选择题）

二、填空题

19．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.

【详解】

因为“”是“”的充分不必要条件， ∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

20．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知是方程的根，求出的值，代入不等式，化简变形后解此不等式可得出结果.

【详解】

已知关于的不等式的解集为，则是方程的根，则，解得，

代入不等式得，即，解此不等式得或.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

21．若集合，则集合中的元素个数为_________．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据集合的元素关系确定集合即可．

【详解】

解：A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，

∵x∈A，y∈B，∴x＝1或x＝﹣1，y＝0或y＝2，

则z＝x+y＝﹣1，1，3，即为{﹣1，1，3}．故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．

22．下列命题：

① 命题“若，则” 的逆否命题为：“若，则”

② “” 是 “”的充分不必要条件

③若为假命题，则均为假命题

④对于命题，使得，则，均有，说法错误的是______．

【答案】③

【解析】

命题“若，则” 的逆否命题为：“若，则”,① 正确；因为，所以“” 是 “”的充分不必要条件，② 正确；若为假命题，则至少有一个为假命题，③错误；对于命题，使得，则，均有，④正确；因此说法错误的是③.

三、解答题

17．设集合，；

（1）用列举法表示集合；

（2）若是的充分条件，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】

（1）解方程求集合，（2）若是的充分条件，则 ，然后求解集合，根据子集关系求参数.

【详解】

（1）

即或 ，

；

（2）若是的充分条件，

则 ，

解得 或，

当时，，满足，

当时， ，同样满足，所以或.

【点睛】

本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.

18．已知,,若,求的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

解不等式可求得集合.对进行讨论,可解得集合.根据画数轴分析问题,可得关于的不等式,从而可得的范围.

【详解】

由可解得,所以集合;

由可得;

当时,,又因为,所以 故;

当时,,成立;

当时,,又因为所以, 故;

综上所述,的取值范围为.

【点睛】

本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,分析问题时还需借助数轴分析问题.

19．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.

（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，不等式为，即，

该不等式解集为 .

（2）由已知得，若时，恒成立，

，

即，的取值范围为.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

20．若实数，，且满足.

（1）求的最大值；（2）求的最小值

【答案】（1）4；（2）4.

【解析】

【分析】

（1）由于，，根据基本不等式得出，再结合一元二次不等式的解法，即可求出的最大值；

（2）根据题意，由，，根据基本不等式得出，通过解一元二次不等式，即可求出的最小值.

【详解】

解：（1）∵，，

∴，即，

即，解得：，

（当且仅当时取等号），

∴的最大值为4.

（2）∵，，

，

即，

整理得：，

∴，

∴（当且仅当时取等号），

所以的最小值为4.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.

21.(1)已知，求的最大值；

(2)已知，求的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)提负号，使用均值不等式．

(2)构造和为定值，使用均值不等式．

【详解】

(1)因为，所以，

所以，

所以当且仅当，即，函数的最大值为.

(2)因为，所以，

所以，

当且仅当，

即时，的最大值为

【点睛】

“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．

22.已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．

【答案】（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；

（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．

【详解】

（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，

解得k＞﹣且k≠0；

（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，

∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，

∴α+β＝1，αβ＝﹣1，

∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，

∴β2＝β+1，α2＝α+1

∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，

α3+β2+β+2016

＝2α+1+β+1+β+2016

＝2（α+β）+2018

＝2×1+2018

＝2020．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．