人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积课时训练

2黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章《空间几何体》总结

本章要解决的主要问题：掌握空间几何体的结构特征，会画几何体的三视图与直观图，利用条件求出几何体的表面积与体积．

解决上述问题的关键：(1)熟悉各种空间几何体的概念与结构特征，能借助其各种截面进一步理解空间几何体的空间结构．(2)理解三视图中“长对正，高平齐，宽相等”的原则，严格按规定绘制，要注意空间图形中的角与线段和直观图中角与线段的关系．(3)熟练掌握利用展开图求表面积、利用三视图表现几何体，这种空间与平面的互化方法．

图形的画法

【例1】 如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图．

思路点拨：简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意：一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性．

解：这个几何体是横放的三棱柱，直观图如图所示(画法略)．

简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意：一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性，同一物体放置位置的不同，其三视图可能会有不同；二是三视图和直观图中看不见的轮廓线皆画成虚线

画出下列空间几何体的三视图．

解：图(1)的三视图如图①.图(2)的三视图如图②.

①

②

画三视图的标准是“长对正，高平齐，宽相等”另外要特别注意轮廓线的画法．

求几何体体积的方法

【例2】 已知三棱柱ABCA′B′C′的体积为V，P、Q分别在侧棱AA′、CC′上，且AP＝C′Q，则四棱锥BACQP的体积是(　　)

(A)V　　　　　　(B)V

(C)V  (D)V

解析：如图，VBA′B′C′＝V，VBACQP＝VBA′C′QP，VBACQP＝V.故选B.

三棱锥的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫做体积转移法(或称等体积法)；割补法是求几何体的体积时常用的一种方法．

【例3】 如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少？

解：过B点作平行于底面的截面，将几何体分为两部分，下半部分是一个底面半径为r，高为b的圆柱，其体积为V1＝πr2b；将上半部分再补成圆柱，这样上半部分的体积是所补成的圆柱体积的一半，上半部分体积为V2＝πr2(a－b)．所以，所求几何体的体积为

V＝V1＋V2＝πr2(a＋b)．

本题的解答中既用了“割”——将几何体分割为两部分，也用了“补”——将不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，无论是“割”还是“补”，其实质都是转化与化归的思想，都是将不熟悉的内容转化为熟悉的内容．

最值问题

【例4】 将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，如图，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.

(1)求面积A以x为自变量的函数式；

(2)求出截得的棱柱体积的最大值．

解：(1)横截面如图所示，由题意得

A＝x·(0＜x＜2)．

(2)V＝x·＝，

由(1)知0＜x＜2，所以，当x＝时，Vmax＝2.

解应用题一般有四步：设(设出未知数)、列(写出解析式或列出方程，特别地要注明函数定义域)、解(化简、求解未知量)、答(写出答案，注意单位)．

易错题辨析

【例5】 若一个正三棱柱(底面是等边三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为(　　)

(A)18　　　　　　　　　(B)15

(C) 24＋8  (D)24＋16

错解：由正三棱柱的三视图知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，三棱柱的表面积S＝S侧＋S底＝3×4＋2××2×3＝18.故选A.

错解分析：错解的原因是把底面等边三角形的高当成边长，底面等边三角形的高为2，边长为4.

正解：由正三棱柱的三视图知，等边三角形ABC底边AC上的高BD＝2(如图)，则正三棱柱的底面边长为4，高为2，三棱柱的表面积S＝S侧＋S底＝3×8＋2××4×2＝24＋8.故选C.

【例6】 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

错解：设卷成的圆柱的底面半径为r，母线长为l，

则2πr＝6，l＝3，所以r＝，

所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·3＝.

错解分析：错解的原因是只把宽当成母线，沿着矩形的长卷成圆柱，没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱．

正解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则

(1)当2πr＝6时，r＝，l＝3，

所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·3＝.

(2)当2πr＝3时，r＝，l＝6，

所以V圆柱＝πr2·l＝π·()2·6＝.

所以所得圆柱的体积为或.