上海市徐汇区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份上海市徐汇区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年上海市徐汇区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
3．下列命题中是假命题的是（　　）
A．若＝，＝，则＝ B．2（﹣）＝2﹣2
C．若＝﹣，则∥ D．若||＝||，则＝
4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（　　）

A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
5．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（　　）
（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（　　）

A．a•sinα+b•sinα B．a•cosα+b•cosα
C．a•sinα+b•cosα D．a•cosα+b•sinα
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．如果＝，那么的值等于　 　．
8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约　 　厘米．
9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是　 　．
10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝　 　．
11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为 　 　．
12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝　 　．
13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 　 　（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM＝　 　．
15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为 　 　．
16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为 　 　．

18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为 　 　（只需写出一种情况即可）．

三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cosA的值．

20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．

22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．

（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．
23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．
（1）求证：；
（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．


24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P坐标．

25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．
（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．
①求证：AE∥BC；
②若EF＝CF，求BD的长；
（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．




参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，
∴sinA＝＝，
故选：B．
2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；
C．当x＝时，函数有最小值为﹣＜6，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
3．下列命题中是假命题的是（　　）
A．若＝，＝，则＝ B．2（﹣）＝2﹣2
C．若＝﹣，则∥ D．若||＝||，则＝
【分析】根据相等向量，平行向量，向量的乘法等知识，一一判断即可．
解：A、若＝，＝，则＝，正确，本选项不符合题意．
B、2（﹣）＝2﹣2，正确，本选项不符合题意．
C，若＝﹣，则∥，正确，本选项不符合题意．
D、若||＝||，则＝，模相等，向量不一定相等，错误，本选项符合题意．
故选：D．
4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（　　）

A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
【分析】根据抛物线开口方向即可判断A；根据对称轴的位置即可判断B；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断C；结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，即可判断D．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；故A正确；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，故B不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0；故C正确；
由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，
即a+b+c＜0，故D正确；
故选：B．
5．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（　　）
（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证明△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得出答案．
解：①∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴BO：OE＝OC：OD＝2：1，
∴对△BOD和△COE来说不存在两组对边成比例，故△BOD和△COE不一定相似，故①错误．
②∵DE∥BC，
∴S△BCD＝S△BCE，
∴S△BOD＝S△COE，
故②正确；
③∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故③正确；
④由③可知．
故④错误．
故选：B．
6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（　　）

A．a•sinα+b•sinα B．a•cosα+b•cosα
C．a•sinα+b•cosα D．a•cosα+b•sinα
【分析】作AE⊥OB交OB的延长线于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A到OC的距离．
解：如图，作AE⊥OB交OB的延长线于点E，
∵OC⊥OB，
∴∠AEB＝∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，
∵＝cos∠ABE＝cosα，
∴BE＝AB•cosα＝a•cosα，
∵＝sin∠BCO＝sinα，
∴OB＝BC•sinα＝b•sinα，
∴OE＝BE+OB＝a•cosα+b•sinα，
∵AE∥OC，
∴点A、点E到OC的距离相等，
∴点A到OC的距离等于a•cosα+b•sinα，
故选：D．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．如果＝，那么的值等于　　．
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
解：由＝，得a＝．
当a＝时，＝＝＝，
故答案为：．
8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约　7　厘米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．
解：设图上距离为x厘米，则
1：5000000＝x：35000000，
所以x＝7（厘米）．
上海与南京的图上距离约7厘米．
故答案为7．
9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是　y＝2x2+3　．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，得：y＝2x2+3．
10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝　1：　．
【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．
解：由勾股定理得：＝100米，
∴坡度i＝＝1：．
故答案为：1：．
11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为 　12　．
【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．
解：把原点（0，0）代入解析式，得﹣12+m＝0，
解得，m＝12，
故答案为：12．
12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝　0　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
解：原式＝2×+1﹣2×﹣
＝+1﹣1﹣
＝0．
故答案为：0．
13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 　y1＞y2　（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
【分析】将x＝﹣3和x＝0分别代入函数解析式求得y的值，然后比较大小．
解：当x＝﹣3时，y1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+5＝20，
当x＝0时，y2＝5，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM＝　2﹣2　．
【分析】根据PM为MN、PN比例中项得出PM2＝MN×PN，再把MN＝4代入，即可求出答案．
解：∵PM为MN、PN比例中项，
∴PM2＝MN×PN，
∵MN＝PM+PN＝4，
∴PM2＝4×（4﹣PM），
解得：PM＝2﹣2（负数舍去），
故答案为：2﹣2．
15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为 　12　．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG＝4，
∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，
∴DG＝2，
∴AD＝AG+DG＝6，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，
∴BC＝2AD＝12．
故答案为：12．

16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝　　．

【分析】根据三角形法则求得和，结合图形易求，然后求比值．
解：∵，
∴＝﹣＝﹣．
∵＝，，
∴＝﹣＝+﹣＝﹣＝（﹣）．
∴＝﹣＝﹣﹣（﹣）＝﹣＝（﹣）．
∴＝．
故答案是：．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为 　（﹣，）　．

【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），即可得到3m2＝1，解得m的值，即可求得A的坐标．
解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵点C的坐标为（0，1），
∴3m2＝1，
∴m2＝，
∴﹣m＝﹣，
∴A（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．

18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为 　　（只需写出一种情况即可）．

【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．
解：如图2所示，CD、AE就是所求的三分线．

设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y＝2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x＝（x+y）：2，
所以联立得方程组，
解得，
即较短的那条长为．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cosA的值．

【分析】过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，利用等腰三角形的性质得出BE，进而利用三角形的面积得出BD，进而解直角三角形即可．
解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝，
∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，
即，
∴AD＝，
∴cosA＝＝．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，进而得出答案．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）；

（2）向左平移2﹣（﹣1）＝3个单位，平移后抛物线的顶点为（﹣1，1）落在直线y＝﹣x上，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1．也可以向下平移三个单位得到顶点落在y＝﹣x上．
21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例推出，从而推出，则有EF∥BD；
（2）根据平行线的性质得到∠DFE＝∠ADB、△CEF∽△CBD，∠FDE＝∠A、△DFE∽△ADB从而根据相似三角形的性质推出，．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴，
∵CD2＝CF•CA，
∴，
∴，
∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，
∴∠DFE＝∠ADB，△CEF∽△CBD，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠FDE＝∠A，
∴△DFE∽△ADB，
∵，
∴．
22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．

（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．
【分析】（1）当∠ANB＝45°时，根据等腰三角形的性质可得∠NMB＝90°．再根据等腰直角三角形的性质和三角函数可得BN的长度，根据CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN即可求解；
（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．根据三角函数可得BN＝2BE＝12cm，CB＝AN＝20cm，依此即可作出判断．
解：（1）当∠ANB＝45°时，
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝45°，
∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．
在Rt△NMB中，sin∠B＝，
∴BN＝＝＝12cm．
∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．

（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝30°
在Rt△BEM中，cos∠B＝，
∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM） cos∠B＝6cm．
∵MB＝MN，ME⊥CB，
∴BN＝2BE＝12cm．
∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，
∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．
随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，
∴倾斜角不可以小于30°．

23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．
（1）求证：；
（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．


【分析】（1）先由AC2＝AD•AB得到△ADC∽△ACB，从而得到∠ADC＝∠ACB，然后结合AE⊥BC，AF⊥CD得到∠AFD＝∠AEC＝90°，从而得证△AFD∽△AEC，最后利用相似三角形的性质得证结果；
（2）先由AF⊥CD、AF平分∠DAG得到DF＝FG，然后得到△GFA∽△GEC，得到EG：FG＝EC：FA，结合（1）中的△AEC∽△AFD得到AE：AF＝EC：FD，从而得证结果．
【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，
∴AC：AB＝AD：AC，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ADC＝∠ACB，＝，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△AEC，
∴＝，
∵＝，
∴＝．
（2）∵AF⊥CD，AF平分∠DAG，
∴DF＝GF，∠AFG＝∠GEC＝90°，
∵∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△CGE∽△AGF，
∴＝，
∵由（1）得，△AEC∽△AFD，
∴＝，
∴：＝：，
化简得，＝，
∵DF＝GF，
∴．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P坐标．

【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1，代入即可；
（2）由于点C是直线y＝x+1和抛物线对称轴x＝1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标即可；
（3）设直线DE交y轴于F，连接BF，先证明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再证明tan∠DBF＝＝3，接下来连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，设HD＝x，则GH＝3x，由DF＝4x＝3得x＝，可求G（0，），此时求出DG解析式，再与抛物线联立即可求得P的坐标．
解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，
∴4a+2b﹣1＝﹣1，
∴＝1，
∴对称轴为x＝1，
∴B（1，0）；

（2）∵直线y＝x+1与此抛物线的对称轴x＝1交于点C，
∴C（1，2），
∴BC＝2，
∵∠DEB＝45°，∠xBA＝45°，
∴∠BCD＝∠CBA＝135°，
∵∠BDC＝∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC2＝CD×AB，
∴CD＝2，
设点D（m，m+1），
∵C（1，2），
∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（2）2，
∴m＝3或m＝﹣1（舍），
∴D（3，4），
∵点D在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，
∴9a+3b﹣1＝4，
∵4a+2b﹣1＝﹣1，
∴a＝，b＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1；

（3）如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，
∵直线CD：y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，
∴F（0，1），E（﹣1，0），
∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，
∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，
∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，
∴∠CFB＝90°，
∵BF＝＝，FD＝＝3，
∴tan∠DBF＝＝3，
∴tan∠PDC＝3，
连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，
∴tan∠PDC＝＝3，
设HD＝x，则GH＝3x，
∵∠GFH＝∠OFE＝45°，
∴GH＝FH＝3x，
∴DF＝4x＝3，
解得x＝，
∵GF＝＝3x，
∴GF＝，
∴GO＝+1＝，
∴G（0，），
设直线PD：y＝kx+，
代入点D（3，4），
得k＝，
∴直线PD：y＝x+，
令y＝x+＝x2﹣x﹣1，
整理得10x2﹣17x﹣39＝0，
解得x＝3或，
∴P的坐标为（，）．

25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．
（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．
①求证：AE∥BC；
②若EF＝CF，求BD的长；
（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．


【分析】（1）①先证明△ABC∽△ECD，再证明△CAF∽△DEF，△AFE∽△CFD，推导出∠FAE＝∠B，得AE∥BC；
②由△AFE∽△BFC，得，依次求出AB、AE、AF、BF的长，再根据勾股定理求出CE的长，再求出BD的长；
（2）分三种情况讨论，一是PE＝CE，可证明△PAD≌△CBD，求出AP的长，在Rt△EAC中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是PC＝EC，可证明BD＝BC＝6，则AE＝AP＝AD＝4，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是PE＝PC，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线BA没有交点．
【解答】（1）①证明：如图1，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，
∴△ABC∽△ECD，
∴∠B＝∠ECD，
∵∠CAF＝∠DEF，∠AFC＝∠EFD，
∴△CAF∽△DEF，
∴，
∴AF•DF＝EF•CF，，
∵∠AFE＝∠EFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴∠FAE＝∠ECD，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC．
②如图1，∵EF＝CF，
∴，
∵△AFE∽△BFC，
∴，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴AE＝BC＝×6＝3，AF＝AB＝×10＝，BF＝AB＝×10＝，
∵∠EAC＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴CE＝＝，
∴EF＝CE＝，CF＝CE＝，
∴DF＝×，
解得DF＝，
∴BD＝BF﹣DF＝﹣＝．
（2）如图2，PE＝CE，
∵DE⊥PC，
∴PD＝CD，
∵AP∥BC，
∴∠P＝∠BCD，∠PAD＝∠B，
∴△PAD≌△CBD（AAS），
∴AP＝BC＝6，
∴CE＝PE＝AE+6，
∵AE2+AC2＝CE2，
∴AE2+82＝（AE+6）2，
∴AE＝，
∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴BF＝；
如图3，PC＝EC，
∵AC⊥PE，
∴AP＝AE，∠ACE＝∠ACP，
设DE交AC于点G，
∵∠CEG＝∠DAG，∠CGE＝∠DGA，
∴△CEG∽△DAG，
∴∠ACE＝∠ADE＝∠ACP，
∵∠BDC+∠ADE＝90°，∠BCD+∠ACP＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC＝6，
∵∠ADP＝∠BDC，∠P＝∠BCD，
∴∠ADP＝∠P，
∴AE＝AP＝AD＝10﹣6＝4，
∵△FAE∽△FBC，
∴，
∴，
∴BF＝30；
如图4，PE＝PC，则∠AEC＝∠DCE，
∵∠CAE＝∠EDC＝90°，CE＝EC，
∴△ACE≌△DEC，
∴∠ACE＝∠DEC＝∠BAC，
∴CE∥AB，
∴射线CE与射线BA没有交点，
综上所述，BF的长为或30．