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山东省潍坊市昌乐县2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）
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这是一份山东省潍坊市昌乐县2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（Word版含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省潍坊市昌乐县八年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题。（本题共8小题，每小题4分，共32分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOC等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．x3÷x3＝1
C．a÷b•＝a D．（﹣）3＝﹣
6．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝26°，则∠AEB等于（ ）
A．26° B．32° C．58° D．64°
7．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
8．如图，∠AOB＝50°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
二、选择题。（本题共4小题，每小题0分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．根据分式的基本性质，分式可变形为 ．
A．﹣
B.
C.
D.
10．如图，∠1＝∠2，BC＝EF，要添加一个条件使△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 ．
A．∠B＝∠D
B．∠A＝∠D
C．AB＝ED
D．AB∥ED
11．在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即，下面利用这个规律计算正确的是 ．
A.
B.
C.+…+＝
D.
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是 ．
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
三、填空题。（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．下列分式①；②；③；④；⑤中，最简分式有 （填正确答案的序号）．
14．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 ．
15．如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 ．
四、解答题。（本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程
（1）﹣＝0；
（2）＝1．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B′C′．使△A'B′C'和△ABC关于y轴对称；
（2）写出点A'，B′，C′的坐标；
（3）若△ABC内部一点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），写出点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标．
19．（1）化简：（x+1﹣）÷；
（2）已知＝＝，且5x﹣y≠0，求的值．
20．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．
21．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，如图，试探索AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由．
23．【阅读材料】
我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解．并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．
【探索规律】
（1）f（6）＝，f（15）＝，f（24）＝＝，…，猜想＝f（x2+x）＝ ；
（2）f（4）＝1，f（9）＝1，f（25）＝1，…，猜想f（x2）＝ ；
【应用规律】
（1）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（2）若f（x2﹣9）＝1，其中x是正整数，求x的值．
参考答案
一、选择题。（本题共8小题，每小题4分，共32分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件判断即可．
解：A选项，当x＝1时，x+1＝2≠0，故该选项不符合题意；
B选项，当x＝1时，x＝1≠0，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝1时，x＝1≠0，故该选项不符合题意；
D选项，当x＝1时，x﹣1＝0，故该选项符合题意；
故选：D．
3．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOC等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】证明△AOC≌△BOD（SSS），得∠C＝∠D＝30°，再由熟记内角和定理即可得出∠AOC的度数．
解：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SSS），
∴∠C＝∠D＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣95°﹣30°＝55°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．x3÷x3＝1
C．a÷b•＝a D．（﹣）3＝﹣
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断A，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算判断C，根据分式乘方运算法则进行计算判断D．
解：A、原式＝3a2，故此选项不符合题意；
B、原式＝x3﹣3＝1，故此选项符合题意；
C、原式＝a＝，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝26°，则∠AEB等于（ ）
A．26° B．32° C．58° D．64°
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，由折叠的性质得到∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC＝26°，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝26°，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠ADB）＝（90°﹣26°）＝32°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣34°＝58°．
故选：C．
7．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【分析】先根据垂直的定义得到∠ABC＝∠EDC＝90°，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD，
∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．
故选：A．
8．如图，∠AOB＝50°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【分析】作P点关于AO的对称点E，作P点关于OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接OE、OF、OP，再由对称性可得∠MPN＝∠OEF+∠OFN＝∠OEM+∠OFN＝80°．
解：作P点关于AO的对称点E，作P点关于OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接OE、OF、OP，
由对称性可得，OE＝OP＝OF，
∴△OEF是等腰三角形，
∴∠OEF＝∠OFE，
由对称性可得∠EOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOF，∠OEM＝∠OPM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠EOF＝2∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°，
∴∠OEF＝40°，
∴∠MPN＝∠OEF+∠OFN＝80°，
故选：C．
二、选择题。（本题共4小题，每小题0分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．根据分式的基本性质，分式可变形为 A、D ．
A．﹣
B.
C.
D.
【分析】根据分式的基本性质进行分析判断．
解：原式＝﹣＝＝，
故A和D的变形符合题意，B和C的变形不符合题意，
故答案为：A、D．
10．如图，∠1＝∠2，BC＝EF，要添加一个条件使△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 B，D ．
A．∠B＝∠D
B．∠A＝∠D
C．AB＝ED
D．AB∥ED
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判定即可．
解：A、若添加∠B＝∠D，不能证明△ABC≌△DEF；
B、若添加∠A＝∠D，根据AAS可证明△ABC≌△DEF；
C、若添加AB＝ED，不能证明△ABC≌△DEF；
D、若添加AB∥ED，可得出∠B＝∠E，根据ASA可证明△ABC≌△DEF；
故答案为：B，D．
11．在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即，下面利用这个规律计算正确的是 ABD ．
A.
B.
C.+…+＝
D.
【分析】利用式子变形＝﹣，对所给选项进行运算即可．
解：∵，
∴＝﹣，
故A符合题意；
+++
＝++++
＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝﹣
＝；
故B符合题意；
+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故C不正确；
+
＝﹣++﹣
＝﹣
＝，
故D符合题意；
故答案为：ABD．
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是 ABC ．
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得C∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故A正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故B正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得D设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故D错误．
解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故C正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故A正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故D错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故B正确，
故答案为：ABC．
三、填空题。（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．下列分式①；②；③；④；⑤中，最简分式有 ①③ （填正确答案的序号）．
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
解：①是最简分式；
②＝，不是最简分式；
③是最简分式；
④＝＝，不是最简分式；
⑤＝＝，不是最简分式；
故答案为：①③．
14．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 2或8 ．
【分析】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是2或8．
故答案为：2或8．
15．如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝ 81° ．
【分析】先根据三角形的内角和得出∠BAC＝70°，由角平分线的定义求出∠EAC的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠ABC＝∠BCF的度数，根据三角形内角和定理得出∠α的度数，进而可得出结论．
解：∵∠B＝32°，∠BCA＝78°，
∴∠BAC＝70°，
由作法可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴∠BCF＝∠B＝32°，
∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝46°，
∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝81°，
故答案为：81°．
16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 （2，3） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
四、解答题。（本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程
（1）﹣＝0；
（2）＝1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程无解．
解：（1）去分母，得：2x﹣（x+1）＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解；
（2）去分母，得：x2﹣8＝（x+2）（x﹣2）﹣（x+2），
整理得：﹣8＝﹣4﹣x﹣2，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，原分式方程无解．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B′C′．使△A'B′C'和△ABC关于y轴对称；
（2）写出点A'，B′，C′的坐标；
（3）若△ABC内部一点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），写出点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标．
【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据所作图形可得三个顶点的坐标；
（3）根据轴对称的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可知，A'（﹣4，0），B'（1，4），C′（3，1）；
（3）∵点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），
∴点M（﹣2，1）与点N（﹣2，﹣5）关于直线y＝﹣2对称，
∴点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标为（1，﹣6）．
19．（1）化简：（x+1﹣）÷；
（2）已知＝＝，且5x﹣y≠0，求的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简即可；
（2）设＝＝＝k，用k表示出x、y、z，代入计算即可．
解：（1）原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1；
（2）设＝＝＝k，
则x＝2k，y﹣z＝3k，x+z＝5k，
解得：x＝2k，y＝6k，z＝3k，
则＝＝3．
20．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF，可得AD＝AF，由等腰三角形的性质可求解．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝35°；
（2）在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴AD＝AF，
∵点H是DF的中点，
∴AH⊥BE．
21．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，由题意：某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，共用26天完成了全部加固任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）得（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），由题意：承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，列式计算即可．
解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，
由题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤80米；
（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），
∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．
22．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，如图，试探索AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）证到△FAB≌△DAC，得FA＝DA，即可得出AB＝AD+BD＝FA+BD．
（2）画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
解：（1）AB＝FA+BD，理由如下：
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°＝∠BAC，
∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，
∴∠FBA＝∠FCE，
∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
，
∴△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝AD+BD＝FA+BD，
（2）解：点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD；点D在AB的反向延长线上时，AB＝BD﹣AF．理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．
同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA．
∴AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD；
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．
23．【阅读材料】
我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解．并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．
【探索规律】
（1）f（6）＝，f（15）＝，f（24）＝＝，…，猜想＝f（x2+x）＝ ；
（2）f（4）＝1，f（9）＝1，f（25）＝1，…，猜想f（x2）＝ 1 ；
【应用规律】
（1）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（2）若f（x2﹣9）＝1，其中x是正整数，求x的值．
【分析】（1）将x²+x，x²分别进行最佳分解即可．
（2）根据最佳分解得定义，建立方程求解．
解：探索规律
（1）∵x²+x＝x（x+1），x与x+1相差1是最小的∴x（x+1）是x²+x的最佳分解．
∴f（x²+x）＝．
（2）∵x²的最佳分解是：x²＝x•x．
∴f（x²）＝＝1．
故答案为：，1
应用规律
（1）∵x²+2x＝x（x+2）．
∴f（x²+2x）＝＝．
去分母得：1011x＝1010x+2020．
∴x＝2020．
经检验：x＝2020符合题意．
∴x＝2020．
（2）∵f（x²﹣9）＝1．
∴设x²﹣9＝t²（t为正整数）．
∴（x+3）（x﹣3）＝t²．
∴x﹣3＜t＜x+3，x＞3，x是正整数．
①当t＝x﹣2时，x²﹣9＝（x﹣2）²．
解得：x＝，不合题意，舍去．
②当t＝x﹣1时，x²﹣9＝（x﹣1）²．
解得：x＝5，符合题意．
③当t＝x时，x²﹣9＝x²．无意义，舍去．
④当t＝x+1时，x²﹣9＝（x+1）²．
解得：x＝﹣5，不合题意舍去．
⑤当t＝x+2时，x²﹣9＝（x+2）²．
解得：x＝﹣，不合题意，舍去．
综上，x＝5．
2021-2022学年山东省潍坊市昌乐县八年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题。（本题共8小题，每小题4分，共32分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOC等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．x3÷x3＝1
C．a÷b•＝a D．（﹣）3＝﹣
6．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝26°，则∠AEB等于（ ）
A．26° B．32° C．58° D．64°
7．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
8．如图，∠AOB＝50°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
二、选择题。（本题共4小题，每小题0分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．根据分式的基本性质，分式可变形为 ．
A．﹣
B.
C.
D.
10．如图，∠1＝∠2，BC＝EF，要添加一个条件使△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 ．
A．∠B＝∠D
B．∠A＝∠D
C．AB＝ED
D．AB∥ED
11．在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即，下面利用这个规律计算正确的是 ．
A.
B.
C.+…+＝
D.
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是 ．
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
三、填空题。（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．下列分式①；②；③；④；⑤中，最简分式有 （填正确答案的序号）．
14．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 ．
15．如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 ．
四、解答题。（本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程
（1）﹣＝0；
（2）＝1．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B′C′．使△A'B′C'和△ABC关于y轴对称；
（2）写出点A'，B′，C′的坐标；
（3）若△ABC内部一点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），写出点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标．
19．（1）化简：（x+1﹣）÷；
（2）已知＝＝，且5x﹣y≠0，求的值．
20．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．
21．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，如图，试探索AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由．
23．【阅读材料】
我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解．并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．
【探索规律】
（1）f（6）＝，f（15）＝，f（24）＝＝，…，猜想＝f（x2+x）＝ ；
（2）f（4）＝1，f（9）＝1，f（25）＝1，…，猜想f（x2）＝ ；
【应用规律】
（1）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（2）若f（x2﹣9）＝1，其中x是正整数，求x的值．
参考答案
一、选择题。（本题共8小题，每小题4分，共32分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件判断即可．
解：A选项，当x＝1时，x+1＝2≠0，故该选项不符合题意；
B选项，当x＝1时，x＝1≠0，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝1时，x＝1≠0，故该选项不符合题意；
D选项，当x＝1时，x﹣1＝0，故该选项符合题意；
故选：D．
3．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOC等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】证明△AOC≌△BOD（SSS），得∠C＝∠D＝30°，再由熟记内角和定理即可得出∠AOC的度数．
解：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SSS），
∴∠C＝∠D＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣95°﹣30°＝55°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．x3÷x3＝1
C．a÷b•＝a D．（﹣）3＝﹣
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断A，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算判断C，根据分式乘方运算法则进行计算判断D．
解：A、原式＝3a2，故此选项不符合题意；
B、原式＝x3﹣3＝1，故此选项符合题意；
C、原式＝a＝，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝26°，则∠AEB等于（ ）
A．26° B．32° C．58° D．64°
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，由折叠的性质得到∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC＝26°，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝26°，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠ADB）＝（90°﹣26°）＝32°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣34°＝58°．
故选：C．
7．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【分析】先根据垂直的定义得到∠ABC＝∠EDC＝90°，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD，
∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．
故选：A．
8．如图，∠AOB＝50°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【分析】作P点关于AO的对称点E，作P点关于OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接OE、OF、OP，再由对称性可得∠MPN＝∠OEF+∠OFN＝∠OEM+∠OFN＝80°．
解：作P点关于AO的对称点E，作P点关于OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接OE、OF、OP，
由对称性可得，OE＝OP＝OF，
∴△OEF是等腰三角形，
∴∠OEF＝∠OFE，
由对称性可得∠EOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOF，∠OEM＝∠OPM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠EOF＝2∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°，
∴∠OEF＝40°，
∴∠MPN＝∠OEF+∠OFN＝80°，
故选：C．
二、选择题。（本题共4小题，每小题0分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．根据分式的基本性质，分式可变形为 A、D ．
A．﹣
B.
C.
D.
【分析】根据分式的基本性质进行分析判断．
解：原式＝﹣＝＝，
故A和D的变形符合题意，B和C的变形不符合题意，
故答案为：A、D．
10．如图，∠1＝∠2，BC＝EF，要添加一个条件使△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 B，D ．
A．∠B＝∠D
B．∠A＝∠D
C．AB＝ED
D．AB∥ED
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判定即可．
解：A、若添加∠B＝∠D，不能证明△ABC≌△DEF；
B、若添加∠A＝∠D，根据AAS可证明△ABC≌△DEF；
C、若添加AB＝ED，不能证明△ABC≌△DEF；
D、若添加AB∥ED，可得出∠B＝∠E，根据ASA可证明△ABC≌△DEF；
故答案为：B，D．
11．在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即，下面利用这个规律计算正确的是 ABD ．
A.
B.
C.+…+＝
D.
【分析】利用式子变形＝﹣，对所给选项进行运算即可．
解：∵，
∴＝﹣，
故A符合题意；
+++
＝++++
＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝﹣
＝；
故B符合题意；
+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故C不正确；
+
＝﹣++﹣
＝﹣
＝，
故D符合题意；
故答案为：ABD．
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是 ABC ．
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得C∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故A正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故B正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得D设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故D错误．
解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故C正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故A正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故D错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故B正确，
故答案为：ABC．
三、填空题。（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．下列分式①；②；③；④；⑤中，最简分式有 ①③ （填正确答案的序号）．
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
解：①是最简分式；
②＝，不是最简分式；
③是最简分式；
④＝＝，不是最简分式；
⑤＝＝，不是最简分式；
故答案为：①③．
14．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 2或8 ．
【分析】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是2或8．
故答案为：2或8．
15．如图．△ABC中，∠B＝32°，∠BCA＝78°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝ 81° ．
【分析】先根据三角形的内角和得出∠BAC＝70°，由角平分线的定义求出∠EAC的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠ABC＝∠BCF的度数，根据三角形内角和定理得出∠α的度数，进而可得出结论．
解：∵∠B＝32°，∠BCA＝78°，
∴∠BAC＝70°，
由作法可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴∠BCF＝∠B＝32°，
∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝46°，
∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝81°，
故答案为：81°．
16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 （2，3） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
四、解答题。（本大题共7小题，共78分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程
（1）﹣＝0；
（2）＝1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程无解．
解：（1）去分母，得：2x﹣（x+1）＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解；
（2）去分母，得：x2﹣8＝（x+2）（x﹣2）﹣（x+2），
整理得：﹣8＝﹣4﹣x﹣2，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，原分式方程无解．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B′C′．使△A'B′C'和△ABC关于y轴对称；
（2）写出点A'，B′，C′的坐标；
（3）若△ABC内部一点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），写出点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标．
【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据所作图形可得三个顶点的坐标；
（3）根据轴对称的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可知，A'（﹣4，0），B'（1，4），C′（3，1）；
（3）∵点M（﹣2，1）关于某条直线的对称点是点N（﹣2，﹣5），
∴点M（﹣2，1）与点N（﹣2，﹣5）关于直线y＝﹣2对称，
∴点E（1，2）关于该条直线的对称点F的坐标为（1，﹣6）．
19．（1）化简：（x+1﹣）÷；
（2）已知＝＝，且5x﹣y≠0，求的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简即可；
（2）设＝＝＝k，用k表示出x、y、z，代入计算即可．
解：（1）原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1；
（2）设＝＝＝k，
则x＝2k，y﹣z＝3k，x+z＝5k，
解得：x＝2k，y＝6k，z＝3k，
则＝＝3．
20．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF，可得AD＝AF，由等腰三角形的性质可求解．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝35°；
（2）在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴AD＝AF，
∵点H是DF的中点，
∴AH⊥BE．
21．某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，由题意：某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，共用26天完成了全部加固任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）得（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），由题意：承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，列式计算即可．
解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，
由题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤80米；
（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），
∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．
22．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，如图，试探索AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）证到△FAB≌△DAC，得FA＝DA，即可得出AB＝AD+BD＝FA+BD．
（2）画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
解：（1）AB＝FA+BD，理由如下：
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°＝∠BAC，
∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，
∴∠FBA＝∠FCE，
∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
，
∴△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝AD+BD＝FA+BD，
（2）解：点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD；点D在AB的反向延长线上时，AB＝BD﹣AF．理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．
同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA．
∴AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD；
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
同（1）得：△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．
23．【阅读材料】
我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解．并规定：f（k）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．
【探索规律】
（1）f（6）＝，f（15）＝，f（24）＝＝，…，猜想＝f（x2+x）＝ ；
（2）f（4）＝1，f（9）＝1，f（25）＝1，…，猜想f（x2）＝ 1 ；
【应用规律】
（1）若f（x2+2x）＝，其中x是正整数，求x的值；
（2）若f（x2﹣9）＝1，其中x是正整数，求x的值．
【分析】（1）将x²+x，x²分别进行最佳分解即可．
（2）根据最佳分解得定义，建立方程求解．
解：探索规律
（1）∵x²+x＝x（x+1），x与x+1相差1是最小的∴x（x+1）是x²+x的最佳分解．
∴f（x²+x）＝．
（2）∵x²的最佳分解是：x²＝x•x．
∴f（x²）＝＝1．
故答案为：，1
应用规律
（1）∵x²+2x＝x（x+2）．
∴f（x²+2x）＝＝．
去分母得：1011x＝1010x+2020．
∴x＝2020．
经检验：x＝2020符合题意．
∴x＝2020．
（2）∵f（x²﹣9）＝1．
∴设x²﹣9＝t²（t为正整数）．
∴（x+3）（x﹣3）＝t²．
∴x﹣3＜t＜x+3，x＞3，x是正整数．
①当t＝x﹣2时，x²﹣9＝（x﹣2）²．
解得：x＝，不合题意，舍去．
②当t＝x﹣1时，x²﹣9＝（x﹣1）²．
解得：x＝5，符合题意．
③当t＝x时，x²﹣9＝x²．无意义，舍去．
④当t＝x+1时，x²﹣9＝（x+1）²．
解得：x＝﹣5，不合题意舍去．
⑤当t＝x+2时，x²﹣9＝（x+2）²．
解得：x＝﹣，不合题意，舍去．
综上，x＝5．
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