2023-2024学年山东省潍坊市昌乐县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市昌乐县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题
D．基本事实不一定是真命题
3．下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．小明本学期三次数学测试成绩为84分，80分，94分．如果上述成绩按照1：2：2的比例计算得出总成绩，则小明的数学总成绩为（ ）
A．86分B．86.4分C．87分D．88分
5．解分式方程+＝分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．最简公分母是（x+1）（x﹣1）
B．去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
6．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F．当△AEG是等腰三角形时，∠B与∠C的不可能的数量关系是（ ）
A．∠B+2∠C＝90°B．∠C+2∠B＝90°
C．D．∠B＝∠C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符
（多选）9．已知ab＝cd，则下列各式成立的（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．抽查部分用户的用电量，统计数据如图所示，横轴为用电量（单位：千瓦时），纵轴为户数，关于这些用户的用电量的描述正确的是（ ）
A．中位数是40
B．平均值是42.6
C．众数是45
D．每户的用电量都增加10千瓦时，其方差也会增加10
（多选）11．如图，已知以△ABC的三边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．试判断下列结论正确的是（ ）
A．四边形ADEF是平行四边形
B．若四边形ADEF是矩形，则∠BAC＝120°
C．若四边形ADEF是菱形，则AB＝AC
D．当∠BAC＝60°时，四边形ADEF不存在
（多选）12．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论正确的是（ ）
A．∠D＝30°
B．2∠D+∠EHC＝90°
C．FD平分∠HFB
D．△FGH为等腰直角三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．点A（﹣3，2）关于y轴的对称点是点B，则点B的坐标是 ．
14．计算的结果是 ．
15．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，若DE：EC＝1：3，则SAGD：S△EGF＝ ．
四、解答题（本大题共7小题，共78分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船在海南文昌航天发射场成功发射．某校举行了航天知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩进行整理和分析，得分用x表示，共分成四组：
A：42＜x≤44：B：44＜x≤46：C：46＜x≤48：D：48＜x≤50；
下面给出了部分信息：男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．
男生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
（3）若该校有440名男生和500名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
18．在如图△ABC中，完成以下尺规作图，保留作图痕迹．
（1）①作△ABC的角平分线AD；②作∠CBE＝∠ADC，BE交CA的延长线于E；③作AF⊥BE，垂足为F．
（2）判断图中BF与EF的数量关系并证明．
19．阅读下列解题过程：
已，求的值．
解：由，知x≠0．∴，即．
∴，∴．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1）已知，，，求的值；
（2）已知，求的值．
20．在△ABC中，
（1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC和么ACB的平分线相交于点P，那么∠BPC＝ ；
（2）如图②所示，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，试说明∠BPC＝∠A；
（3）如图③所示，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想.
21．杭州亚运会期间，某商店用3600元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉样物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉样物的总利润为多少元？
22．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13m，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发点以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个边点到边端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时的动形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题
D．基本事实不一定是真命题
【分析】根据真、假命题的意义对A、B、D进行判断；根据定理的定义对C进行判断．
解：A、命题有真命题与假命题，所以A选项错误；
B、不正确的判断是假命题，所以B选项错误；
C、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以C选项正确；
D、基本事实是真命题，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理．
3．下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质进行判断．
解：A、由的分子分母同时除以x2，得到．故本选项错误，不符合题意；
B、当x≠0时，不一定得到等式．故本选项错误，不符合题意；
C、．故本选项错误，不符合题意；
D、同时改变的分子与分式的符号，分式的值不变，即＝＝﹣1．故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质．分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
4．小明本学期三次数学测试成绩为84分，80分，94分．如果上述成绩按照1：2：2的比例计算得出总成绩，则小明的数学总成绩为（ ）
A．86分B．86.4分C．87分D．88分
【分析】利用加权平均数的定义列式计算可得．
解：小明的数学总成绩为＝86.4（分）．
故选：B．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5．解分式方程+＝分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．最简公分母是（x+1）（x﹣1）
B．去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
【分析】按照解分式方程的步骤判断即可．
解：解分式方程+＝分以下四步，
第一步：最简公分母为（x+1）（x﹣1），
第二步：去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
第三步：解整式方程得：x＝1，
第四步：经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的步骤是解本题的关键．
6．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题，
解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，根据菱形的定义可证明四边形ABCD是菱形，可判断A正确；由四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明四边形ABCD是菱形，可知四边形ABCD不一定是矩形，可判断B错误；由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，根据矩形的定义可证明四边形ABCD是矩形，可知四边形ABCD不一定是正方形，可判断C错误，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD不一定是矩形，
故B错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD不一定是正方形，
故C错误，
故选：B．
【点评】此题重点考查菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，正确选择特殊的平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是菱形或矩形是解题的关键．
8．在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F．当△AEG是等腰三角形时，∠B与∠C的不可能的数量关系是（ ）
A．∠B+2∠C＝90°B．∠C+2∠B＝90°
C．D．∠B＝∠C
【分析】由线段垂直平分线性质可知，EA＝EB，GA＝GC，可推出∠AEG＝2∠B，∠AGE＝2∠C，当△AEG是等腰三角形时，分情况讨论：①当AE＝AG时，∠AEG＝∠AGE，所以可推出∠B＝∠C，故选项D不符合题意；②当EA＝EG时，∠EAG＝∠EGA，由三角形内角和定理，得∠AEG+2∠AGE＝180°，所以2∠B+4∠C＝180°，从而可推出∠B+2∠C＝90°，故选项A不符合题意；③当GA＝GE时，同理可得到∠C+2∠B＝90°，故选项B不符合题意．由此可作出选择．
解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点G，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠AEG＝2∠B，∠AGE＝2∠C，
当△AEG是等腰三角形时，分三种情况：
①当AE＝AG时，∠AEG＝∠AGE，
∴2∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠C，
故选项D不符合题意；
②当EA＝EG时，∠EAG＝∠EGA，
∴∠AEG+2∠AGE＝180°，
∴2∠B+4∠C＝180°，
∴∠B+2∠C＝90°，
故选项A不符合题意；
③当GA＝GE时，
同理可得到∠C+2∠B＝90°，
故选项B不符合题意．
由已知条件无法得到2∠C+∠B＝90°，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用相关图形的性质是解题的关键．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符
（多选）9．已知ab＝cd，则下列各式成立的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解．
解：A、∵，
∴ab＝cd，故选项符合题意；
B、∵，
∴ad＝bc，故选项不符合题意；
C、∵，
∴ab＝cd，故选项符合题意；
D、∵，
∴ab＝cd，故选项符合题意．
故选：ACD．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用两内项之积等于两外项之积的性质是解题的关键．
（多选）10．抽查部分用户的用电量，统计数据如图所示，横轴为用电量（单位：千瓦时），纵轴为户数，关于这些用户的用电量的描述正确的是（ ）
A．中位数是40
B．平均值是42.6
C．众数是45
D．每户的用电量都增加10千瓦时，其方差也会增加10
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义及方差的性质求解即可．
解：抽查的用户一共有1+2+2+5+8+2＝20（户），
关于这20户居民用电量的中位数是＝42.5，
平均数为×（30+35×2+36×2+40×5+45×8+60×2）＝42.6，
众数是45，
每户的用电量都增加10千瓦时，其平均数增加10千瓦时，但是方差不变．
故选：BC．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
（多选）11．如图，已知以△ABC的三边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．试判断下列结论正确的是（ ）
A．四边形ADEF是平行四边形
B．若四边形ADEF是矩形，则∠BAC＝120°
C．若四边形ADEF是菱形，则AB＝AC
D．当∠BAC＝60°时，四边形ADEF不存在
【分析】A、先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE＝AC＝AF，FE＝AB＝AD，则四边形ADEF是个平行四边形；B、根据四边形ADEF是矩形，得∠DAF＝90°，求出∠BAC＝150°；C、根据四边形ADEF为菱形得AD＝AF，所以AB＝AC；D、当∠BAC＝60°时，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
解：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠ABE，AB＝BD，BC＝BE．
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE＝AC．
∵AC＝AF，
∴DE＝AF．
同理可得EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，故A正确；
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，故B错误；
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD＝AF，
∴AB＝AC，故C正确，
当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在，故D正确，
综上所述：正确的结论是ACD．
故选：ACD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．
（多选）12．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论正确的是（ ）
A．∠D＝30°
B．2∠D+∠EHC＝90°
C．FD平分∠HFB
D．△FGH为等腰直角三角形
【分析】根据垂直定义可得∠EGF＝∠FGH＝90°，从而利用平行线的性质可得∠EGF＝∠DFG＝90°，进而利用平角定义可得∠AFG+∠DFB＝90°，再利用平行线的性质可得∠D＝∠DFB，从而可得∠AFG+∠D＝90°，进而可得∠AFG＝60°，∠D＝30°，然后利用平行线的性质可得∠D＝∠EHC＝30°，从而可得2∠D+∠EHC＝90°，再根据∠HFD≠30°，∠HFG≠45°，可得FD不平分∠HFB，△FGH不是等腰直角三角形，逐一判断即可解答．
解：∵FG⊥EH，
∴∠EGF＝∠FGH＝90°，
∵EH∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG＝90°，
∴∠AFG+∠DFB＝180°﹣∠DFG＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠DFB，
∴∠AFG+∠D＝90°，
∵∠AFG＝2∠D，
∴∠AFG＝60°，∠D＝30°，
∵EH∥DF，
∴∠D＝∠EHC＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝90°，
故A、B都正确；
∵∠DFG＝90°，∠HFD≠30°，
∴∠HFD≠∠DFB，
∴FD不平分∠HFB，
故C不正确；
∵∠DFG＝90°，∠HFG≠45°，
∴△FGH不是等腰直角三角形，
故D不正确；
故选：AB．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．点A（﹣3，2）关于y轴的对称点是点B，则点B的坐标是 （3，2） ．
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而求出即可．
解：点A（﹣3，2）关于y轴的对称点是点B，则点B的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
14．计算的结果是 1 ．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
解：
＝•
＝•
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为 8． ．
【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．
解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3，
∵DF＝1，
∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，
∴BC＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，若DE：EC＝1：3，则SAGD：S△EGF＝ 4：3 ．
【分析】连接CG，由正方形的性质得AD＝CD＝AB＝CB，∠BAD＝∠BCD＝90°，则∠ADG＝∠ABD＝∠CDG＝∠CBD＝45°，可证明△AGD≌△CGD，则S△AGD＝S△CGD，由GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，得∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，则四边形CDGF是矩形，所以S△EGF＝S△EGC＝EG•FG，由DE：EC＝1：3，得DC：EC＝4：3，则S△AGD：S△EGF＝S△CGD：S△EGC＝4：3，于是得到问题的答案．
解：连接CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠ABD＝∠CDG＝∠CBD＝45°，
在△AGD和△CGD中，
，
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴S△AGD＝S△CGD，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S△EGF＝S△EGC＝EG•FG，
∵DE：EC＝1：3，
∴DC：EC＝4：3，
∴S△CGD：S△EGC＝DC：EC＝4：3，
∴S△AGD：S△EGF＝4：3，
故答案为：4：3．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
四、解答题（本大题共7小题，共78分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船在海南文昌航天发射场成功发射．某校举行了航天知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩进行整理和分析，得分用x表示，共分成四组：
A：42＜x≤44：B：44＜x≤46：C：46＜x≤48：D：48＜x≤50；
下面给出了部分信息：男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．
男生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 50 ，b＝ 49.5 ，m＝ 15 ；
（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
（3）若该校有440名男生和500名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求a和b，求出女生C组的百分比即可得m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和满分率的意义即可求解；
（3）用满分率乘总人数可得答案．
解：（1）因为男生的满分率为45%，所以众数a＝50；
把20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，50，排在中间的两个数是49、50，故中位数b＝＝49.5，
m%＝1﹣50%﹣10%﹣＝15%，故m＝15．
故答案为：50，49.5，15．
（2）女生的竞赛成绩更好，理由如下：
因为女生的平均数，中位数和满分率都比男生的高，所以女生的竞赛成绩更好．
（3）440×45%+500×50%＝448（人），
答：估计该校竞赛成绩为满分的人数数约448人．
【点评】本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
18．在如图△ABC中，完成以下尺规作图，保留作图痕迹．
（1）①作△ABC的角平分线AD；②作∠CBE＝∠ADC，BE交CA的延长线于E；③作AF⊥BE，垂足为F．
（2）判断图中BF与EF的数量关系并证明．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）结论：BF＝EF．利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
解：（1）图形如图所示：
（2）结论：BF＝EF．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠EBC
∴AD∥BE，
∴∠ABE＝∠BAD，∠AEB＝∠DAC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
∵AF⊥BE，
∴BF＝EF．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．阅读下列解题过程：
已，求的值．
解：由，知x≠0．∴，即．
∴，∴．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1）已知，，，求的值；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）利用“倒数法“进行计算，即可解答；
（2）利用“倒数法“进行计算，即可解答．
解：（1）∵，，，
∴＝，＝，＝，
∴+＝，+＝，+＝，
∴2（++）＝2，
∴++＝1，
∴＝1，
∴＝1，
∴的值为1；
（2）∵，
∴＝7，
∴x﹣1+＝7，
∴x+＝8，
∴＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝64﹣2+1＝63，
∴＝，
∴的值为．
【点评】本题考查了分式的混合运算，理解“倒数法”是解题的关键．
20．在△ABC中，
（1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC和么ACB的平分线相交于点P，那么∠BPC＝ 120° ；
（2）如图②所示，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，试说明∠BPC＝∠A；
（3）如图③所示，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想.
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，再利用三角形的内角和定理计算可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，再利用三角形外角的性质进行证明；
（3）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理及其推论进行证明．
解：（1）∵BP、CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），
∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，
∴2∠BPC＝180°+∠A，
∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC．
又∵CP是∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∴∠BPC＝∠A；
（3）90°﹣∠A．
证明：∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP＝∠CBD，∠BCP＝∠BCE，
∴∠CBP+∠BCP
＝∠CBD+∠BCE
＝（∠CBD+∠BCE）
＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝（180°+∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是
21．杭州亚运会期间，某商店用3600元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉样物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉样物的总利润为多少元？
【分析】（1）设第一次购进的每个吉祥物的进价为x元，则第二次购进的每个吉祥物的进价为（1+20%）x元，根据同样用3600元购进的数量比第一次少了10个．列出分式方程，解方程即可；
（2）根据总利润＝总售价﹣总成本，列式计算即可．
解：（1）设第一次购进的每个吉祥物的进价为x元，则第二次购进的每个吉祥物的进价为（1+20%）x元，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为60元；
（2）96×（+）﹣3600×2＝3360（元），
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为3360元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
【分析】（1）证△BEA≌△FED，得AB＝DF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证∠BAE＝∠ABE，得BE＝AE，再由平行四边形的性质得BE＝BF，则BF＝AD，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠C，
∵∠BEA+∠BAE+∠ABE＝180°，∠BEA+2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴BE＝AE，
由（1）知，四边形ABDF是平行四边形，
∴BE＝BF，
∵AE＝AD，
∴BF＝AD，
∴平行四边形ABDF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，BC＝13m，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发点以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个边点到边端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时的动形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合AB的长表示即可；
（2）只有Q点在CD上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形；②四边形ADQP是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为x cm/s，Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，满足PB＝BC＝CQ，建立方程解决即可．
解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，
∴t s时，AP＝t×1＝t（cm），
∵AB＝18cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；
（2）∵BC＝13 cm，
则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5（s），
∵BC+CD＝23+13＝36（cm），
∴Q运动时间最长为36÷2＝18（s），
∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，
此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：
∵AB∥CD即PB∥CQ，
∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，
∴运动时间为t s时，CQ＝2 t﹣BC＝（2 t﹣13）cm，
∴18﹣t＝2 t﹣13，
解得：t＝；
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：
同理∵AP∥DQ，
∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，
由（1）知：AP＝t cm，
点DQ＝CD+CB﹣2 t＝（36﹣2t）cm，
∴36﹣2t＝t，
解得：t＝12，
综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，
∵PB∥CQ，
∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，
由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，
∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，
解得：t＝5 s，x＝5.2cm/s，
∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．
【点评】本题考查了四边形的综合题考察了菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
48.05
48.5
a
45%
女生
48.45
b
50
50%
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
48.05
48.5
a
45%
女生
48.45
b
50
50%