专题14 立体几何多选题 （解析版）

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专题14   立体几何多选题 1.已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是(     )A． B．存在一个位置，使为等边三角形C．与不可能垂直 D．直线与平面所成的角的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，；将沿折起，使顶点至点，折起过程中，始终与垂直，因此，又，由线面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正确；B选项，因为折起的过程中，边长度不变，因此；若为等边三角形，则；设菱形的边长为，因为，则，即，又，所以，即二面角的余弦值为时，为等边三角形；故B正确； C选项，，，由A选项知，，，所以，因此，同B选项，设菱形的边长为，易得，，所以，显然当时，，即；故C错误；D选项，同BC选项，设菱形的边长为，则，，，由几何体直观图可知，当平面，直线与平面所成的角最大，为，易知.故选：ABD.2.如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确故选：ABD3.已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．A．， B．，，C．， D．，，【答案】 ABC【解析】由面面垂直定理可以判断正确，对于选项，，，，也可以得到，故错.故选：.4.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(  )A．∥平面 B．平面∥平面C．直线与直线所成角的大小为 D．【答案】 ABD【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.5.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）A．平面B．面C．四棱锥外接球的表面积为D．四棱锥的体积为6【答案】 BC【解析】作图在四棱锥中：由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，中，∥，面，面，所以面，所以选项B正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，，则平面，，四棱锥的体积所以选项D错误.矩形中，易得，中求得：在中即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其体积为，所以选项C正确故选：BC6.正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（    ）A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为【答案】ACD 【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，如图设截面为多边形，设，则，则所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，所以因为，，所以当时，，故D成立。故选：ACD．7.正方体的棱长为1，分别为的中点．则（    ）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点到平面的距离相等【答案】 BC【解析】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.8.如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(   )A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值；C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】 BD【解析】对于A，取的中点为，连接交于点，如图      则，如果，则,由于，则,由于三线共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于B，如图，由,且，在中，由余弦定理得：，也是定值，故是定值，故正确；对于C，如图 ，即,则 若，由于，且平面，平面，平面，，则,由于，故不成立，故不正确；对于D，根据题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点为，连接，如图，则，且，平面平面，平面 平面，平面，则，,,从而,易知的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，表面积是，故D正确；故选：BD9.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）A．若则B．若则C．若，，则D．若，则【答案】 ACD【解析】若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，则，又，则，故D对；故选：ACD．10.在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）A． B．平面EFPQC．平面EFPQ D．直线和所成角的余弦值为【答案】 ABD【解析】A．如图所示，因为，所以四边形是正方形，所以，又因为几何体为长方体，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以，故结论正确；B．如图所示，假设平面，因为平面，所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；C．如图所示，连接，由条件可知，所以，又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；D．如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角，由条件可知：，所以，故结论正确.故选：ABD.