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第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧(解析版)
展开第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧
【题型精讲】
题型一:构造对称和(或差)
1.(2021·山西·太原五中高三月考(理))设函数.
(1)当有极值时,若存在,使得成立,求实数的取值范围;
(2)当时,若在定义域内存在两实数满足且,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
(1)定义域为,,
当时,,即在上单调递增,不合题意,;
令,解得:,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,;
存在,使得成立,则,即,
又,,
即,
令,则,
在上单调递增,又,,
即实数的取值范围为.
(2)当时,,则,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
由且知:;
令,,
则,
在上单调递增,,即;
,又,;
,,又且在上单调递减,
,即.
2.(2021·北京·临川学校高三期末)已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(2)若函数存在两个极值点,求证:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
解:(1)易知的定义域为,
由题意知,即在上恒成立,.
令,则.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以当时,有最小值,
所以;
(2)因为,由知,,
设
则,且在上单调递增,在上单调递减,
所以可令,,.
令,.
则
因为,所以,所以上在单调递减,且,
所以时,.
又,所以
所以.
所以.
因为,,且在上单调递增,
所以,.
3.(2021·全国全国·模拟预测)已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)设方程的两个根分别为,,求证:.
【答案】(1)的单调递增区间为,;单调递减区间为,极大值为,极小值为;(2)证明见解析.
【详解】
(1)由题意得:,令,解得:,,
当时,;当时,;
的单调递增区间为,;单调递减区间为;
的极大值为;极小值为;
(2)当时,,令,解得:,
当时,方程的两个根在区间内.
设函数,
则
,.
令,,则,
在上为增函数,又,
则当时,;当时,;
当时,,当时,,当时,,
在上单调递减.
不妨设,
在上单调递减,在上单调递增,,
,,又,,
,,由(1)知:在上单调递增,,
.
题型二:比值代换法
1.(2021·全国·高三月考)已知函数
(1)若,(为的导函数),求函数在区间上的最大值;
(2)若函数有两个极值点,求证:
【答案】(1)当时,;当时,;当时,;(2)证明见解析.
【详解】
(1)因为,,
①当时,因为,所以,
所以函数在上单调递增,则;
②当,即时,,,
所以函数在上单调递增,则;,
③当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减,则;
④当,即时,,,函数在上单调递减,则.
综上,当时,;
当时,;
当时,.
(2)要证,只需证:,
若有两个极值点,即函数有两个零点,又,
所以是方程的两个不同实根,
即,解得,
另一方面,由,得,
从而可得,
于是.不妨设,
设,则.因此,.
要证,即证:,
即当时,有,
设函数,则,
所以为上的增函数.注意到,,因此,.
于是,当时,有.
所以成立,.
2.(2021·全国·高三专题练习)已知函数有两个零点,.
(1)求的取值范围;
(2)求证:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
(1)有两个零点有两个相异实根.
令,则
由得:,由得:,
在单调递增,在单调递减,
,
又,当时,,当时,
当时,,
有两个零点时,实数a的取值范围为.
(2)不妨设,由题意得,
,,,
要证:,只需证.
,
令,,只需证
,只需证:.
令,,
在递增,
成立.
综上所述,成立.
3.(2021·安徽·毛坦厂中学高三月考(理))已知函数().
(1)若,求函数在处的切线;
(2)若有两个零点,,求实数的取值范围,并证明:.
【答案】(1);(2),证明见解析.
【详解】
(1)的导数为,
则函数在处的切线斜率为,
又切点为,
则切线的方程为,即;
(2)设函数,与函数具有相同的零点,
,知函数在上递减,上递增,
当,;
可证当时,,即,
即此时,
当时,,
有两个零点,只需(1),即;
证明:方法一:设函数,
则,
且对恒成立
即当时,单调递减,此时,(1),
即当时,,
由已知,则,
则有
由于函数在上递增,即,
即.
方法二:故.
设,则,且,解得,,
要证:,即证明,
即证明,
设,,
令,,则,
在上单调增,(1),
在上单调增,
则(1).
即时,成立,
题型三:消参减元
1.(2021·湖南师大附中高三月考)已知函数.
(1)若恒成立,求实数的取值范围.
(2)若函数的两个零点为,,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
(1)解:因为恒成立,所以,
即恒成立.
令,则,
易知在上单调递增,且.
所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,故.
(2)证明:由题意可知方程的两根为,.
令,则的两个零点为,.
.
当时,,在上单调递增,不存在两个零点;
当时,在上单调递增,在上单调递减,
则,得.
设,则,.
因为,所以,.
要证,即要证,即证.
令
,.
则,所以在上单调递减,所以.
因为,所以.
因为,,且在上单调递减,
所以,即,故成立.
2.(2021·浙江·模拟预测)已知函数.
(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:;
(3)设函数的两个零点、,求证:.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
解:由可得,可得,
令,其中,则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,所以,;
(2)
解:要证,即证,
由(1)可知,,当且仅当时,等号成立,
令,其中,则,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以,,
因为和取等的条件不同,故,即;
(3)
解:由题知①,②,
①②得③,
②①得④.
③④得,
不妨设,记.
令,则,
所以在上单调递增,
所以,则,即,
所以.
因为
,
所以,即.
令,,则在上单调递增.
又,
所以,即,所以.
3.(2021·全国·高二单元测试)已知函数,.
(1)求函数的增区间;
(2)设,是函数的两个极值点,且,求证:.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【详解】
(1)由题意得().
令,则.
①当,即时,在上恒成立,即的增区间为;
②当,即时,或,即的增区间为和.
综上,当时,的增区间为;当时,的增区间为和.
(2)因为(),有两个极值点,,
所以,是方程的两个不相等的正实数根,可求出
从而,,解得.
由得.
因为,所以且.
令,且,则,
所以当时,,从而单调递增;当时,,从而单调递减,
于是().
要证,只要证,只要证明.
因为,所以只要证.
令
则
.
因为,
所以,即在上单调递增,
所以,即,
所以,即.
【课后精练】
1.(2021·贵州·贵阳一中高三月考(理))已知函数(其中为自然对数的底数,为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当函数有极大值,且极大值为时,若方程(m为常数)有两个不等实根则.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【详解】
(1)解:由题意可得.
①当时,在上恒成立,∴函数在上单调递减;
②当时,令,令,
∴函数在上单调递增,在上单调递减;
综上所述:当时,函数在上单调递减;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.;
(2)证明:由(1)可知,当时,函数有极大值,
且,解得,
∴(其中),则,
当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增.
不妨设,则,
当时,则.
令,
则,
∴在上单调递减,于是,即,
当时,,
又,∴,
又,且在上单调递减,
,即.
2.(2021·重庆市开州中学高三月考)设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若在定义域内存在两实数,满足且,证明:.
【答案】(1)函数的单调性见解析;(2)证明见解析.
【详解】
(1)依题意,函数定义域为,,
当时,,在上单调递增,
当时,由得,当时,,当时,,
于是得在上单调递增,在上单调递减,
所以,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减;
(2)当时,,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,
因实数,满足且,于是得,
当时,令,
,即在上单调递增,,,即,
而,于是得,显然,又在上单调递减,
因此,,即,
所以.
3.(2021·江苏·周市高级中学高三开学考试)已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,且,证明:.
【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减;(2)证明见解析.
【详解】
(1),,
由得,
当时,;当时,
∴在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵,且,
∴由(1)知,不妨设.
要证,只需证明,
而,在上单调递减,
故只需证明.
又,∴只需证明.
令函数,
则.
当时,,,故,
∴在上单调递增,
故在上,
∴成立,故成立.
4.(2021·全国·高二课时练习)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
【答案】(1)的递增区间为,递减区间为;(2)证明见解析.
【详解】
(1)函数的定义域为,
又,
当时,,当时,,
故的递增区间为,递减区间为.
(2)因为,故,即,
故,
设,由(1)可知不妨设.
因为时,,时,,
故.
先证:,
若,必成立.
若, 要证:,即证,而,
故即证,即证:,其中.
设,
则,
因为,故,故,
所以,故在为增函数,所以,
故,即成立,所以成立,
综上,成立.
设,则,
结合,可得:,
即:,故,
要证:,即证,即证,
即证:,即证:,
令,
则,
先证明一个不等式:.
设,则,
当时,;当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,故,
故成立
由上述不等式可得当时,,故恒成立,
故在上为减函数,故,
故成立,即成立.
综上所述,
5.(2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二月考)已知定义在上的函数.
(1)若为定义域上的增函数,求实数的取值范围;
(2)若,,,为的极小值,求证:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
(1)由得:.
为上的增函数,在上恒成立,
即,
令,则,
在上单调递减,,即,
,即实数的取值范围为.
(2)当时,,则,
,在上单调递增,
又,,
,使得,且当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,则为的极小值.
设,,,,
设,
,.
,,又,,
在上单调递增,
,
,在上单调递增,
,
,,,
又在上单调递减,,即.
6.(2021·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求函数在最大值;
(2)当时,设函数的两个零点为,试证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】
(1)函数的定义域为,
,
在处的切线与直线垂直,
,
由(负值舍去),
所以函数在上单调递增,在单调递减,
故有最大值.
(2)当时,.
函数在单调递增,在单调递减.
且,
故函数的两个零点为满足,
令,
在(0,1)恒成立,
∴F(x)在(0,1)递增,在(0,1)恒成立,
∴,又,
∴,
∵,又在单调递减,
∴,即.
7.(2021·四川·川大附中高二期中)已知函数.
(1)若在定义域上不单调,求的取值范围;
(2)设分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【详解】
分析:(1)利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时,参数 的取值范围为,则可知函数 在定义域上不单调时, 的取值范围为 ;(2)易知 ,设 的两个根为 ,并表示出,则,令,则,再利用导数法求的取值范围.
详解:
由已知,
(1)①若在定义域上单调递增,则,即在上恒成立,
而,所以;
②若在定义域上单调递减,则,即在上恒成立,
而,所以.
因为在定义域上不单调,所以,即.
(2)由(1)知,欲使在有极大值和极小值,必须.
又,所以.
令的两根分别为,,
即的两根分别为,,于是.
不妨设,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以,,
所以
.
令,于是,
,
由,得,
又,所以.
因为,
所以在上为减函数,
所以.
8.(2021·江苏·吴江中学高二月考)已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若函数有两个零点,且,证明:.
【答案】(1)答案详见解析;(2)证明详见解析.
【详解】
(1)函数的定义域为,.
当时,,在上是减函数,所以在上无极值;
当时,若,,在上是减函数.
当,,在上是增函数,
故当时,在上的极小值为,
无极大值.
(2)当时,,
由(1)知,在上是减函数,在上是增函数,是极值点,
又,为函数零点,所以,要证,只需证.
∵ ,又
∵,∴,
令,则,
∴在上是增函数,∴,∴,
∴,即得证.
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