高中数学《随机事件》文字素材3 新人教B版必修3教案

《随机事件》易错概念辨析

　　概率问题中有许多概念看似相似，实则不同，非常容易混淆，本文就概率中的几组易混概念进行对比分析，以提高同学们的辨别能力和解题能力．

　　1．随机试验与随机事件

　　在一定条件下，具有多种可能发生的结果，而事先不能确定哪一种结果一定要发生的现象叫做随机现象．这种现象的特点是：在相同条件下，个别观察结果呈偶然性，大量重复结果呈规律性．随机现象的模型就是随机试验，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．随机试验（一次试验）是随机现象．随机试验须同时满足下面三个条件：①试验可以在相同条件下进行；②所有可能结果是明确可知的，且不止一个；③每做一次试验总会出现可能结果的一个，但在试验之前不能预言会出现哪一种结果．随机试验的每一个结果称为随机事件，即随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．

　　2．事件与基本事件

　　随机事件可以简称为“事件”，为了叙述起来文字简洁些，有时我们所讲的事件其中可能包含不可能事件和必然事件的意思，一般都不另作说明．事件的结果是相应于“一定条件下”而言的，作为一个事件，必须由条件和结果组成．要弄清某一事件，必须明确何为事件发生的条件，何为该条件下产生的结果．根据结果在指定条件下是否发生，分为必然事件、不可能事件和随机事件．

　　一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它具有以下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的基本事件不可能同时发生；③所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间是一个必然事件，因为基本事件空间由全体随机事件构成，也是一个随机事件，这个随机事件总是发生，因此它是必然事件；④不可能事件不包含任何基本事件．

　　类比集合，基本事件空间类似于集合中的全集，基本事件不能或不必分解，相当于集合元素是基本单元（不可分），基本事件不能同时发生，相当于集合元素的互异性．

　　从概率学角度知，不可能事件、必然事件和随机事件的概率分别为和．概率为的事件可以是不可能事件，也可以是随机事件．例如，从集合（它是有限集）中，取出的数是的概率是，随着的无限增大，它的概率等于．事实上，事件“取出的数是”可能发生也可能不发生，它为随机事件．同理，概率是的事件可能是必然事件，也可能是随机事件．例如，在一个盒子里有个白球个黑球，摸到白球即停止，则摸四次停止是一个随机事件，其概率是．

　　3．频率和概率

　　频率和概率是学习的重点，也是学习的难点．频率是指在多次重复试验的基础上此事件发生的次数与试验总次数的比值，它随着试验次数的改变而变化，它不是常数，但它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增大，这种摆动幅度越来越小．而上述中的常数是事件发生的概率，它不随着试验次数的改变而变化，频率只能作为概率的一个近似值，也就是统计概率．（有时频率与概率相等，如必然事件）

　　4．互斥事件与对立事件

　　互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系．如果事件与事件不可能同时发生，那么称事件与为互斥事件，它包含两层含义：在同一次试验中，①都未发生；②恰有一个发生．

　　在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件．

　　注：①互斥事件是对立事件的前提；②两个事件中必有一个发生；③对立事件的概率和等于，即．

　　因此，两事件对立，必定互斥，但互斥不一定对立．

　　从集合角度考虑：两个事件与互斥，是指由所含的结果所组成的集合的交集是．一般情形：如果事件，，，中任何两个都是互斥事件，那么我们称，，，彼此互斥．各事件包含的结果组成的集合，，，有；对于事件所包含的结果组成的集合若满足“且”，则事件与为对立事件，也即或．利用上述集合观点，很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件．

前思后想  集合帮忙

    对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，我们把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．

    由定义可知，，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，我们可从集合的角度去认识概率、研究概率：

    在一次实验中，等可能出现的个结果组成一个集合，这个结果就是集合的个元素，各基本事件均对应于集合的含有个元素的子集，包含个结果的事件对应于的含有个元素的子集．因此，从集合的角度看，事件的概率是子集的元素个数（记作card（A））与集合的元素个数的比值，也就是．故事件的概率可视为在一个全集下的某个子集到数的集合的映射．

    例1   一个口袋内装有大小相等的个红球和个黑球，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率．

    分析：从集合的角度出发，需先求出由所有结果组成的集合含有元素的个数，再求出“取出的两个球都是红球”这一事件对应于中的子集所包含元素的个数．

    解：从袋中5个球中任意取出两个球共有种不同的结果，即由所有结果组成的集合含有个元素．

　　从个红球中取出个红球，共有种不同结果，这些结果组成的一个含有个元素的子集，则．

    例2  有长度分别为的线段，从中任意取出条，求所取三条线段可构成三角形的概率．

    分析：任意一条线段被取都是任意的，故随意取出三条线段是等可能事件．

    解：从条线段中任意取出条，可能出现的结果共种，而构成三角形的只有，，三种，所以所求概率为．

    练习：有张卡片（从号到号），从中任取一张，取到的卡号是的倍数的概率为______．

    答案：．