学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷03（北师大版2019）

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学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷03学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分  一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据不等式的写法求解集合B，然后根据交集的定义计算即可.【详解】解：∵，∴.故选：C.【点睛】本题考查不等式的计算，考查交集的定义和运算，属于基础题.2．已知，那么f（8）等于(    )A．1 B．3 C．8 D．【答案】A【解析】【分析】利用换元法求得函数解析式，代值计算即可.【详解】对已知函数令，有，所以故选：A【点睛】本题考查换元法求函数解析式，属于基础题.3．下列函数中，在区间上为减函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.4．设命题：，，则为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案．【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题，，则为，，故选：B．【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题．5．如果实数，满足，那么下列不等关系成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用举反例方法,即可判断错误选项.根据不等式性质,即可证明正确选项.【详解】对于A,由,当时,不成立,所以A错误;对于B,由,当时,不成立,所以B错误;对于C,由,当时,不成立,所以C错误.对于D, 由,则,所以,即D正确.综上可知,D为正确选项.故选:D【点睛】本题考查了根据条件判断不等式是否成立,不等式性质的应用,属于基础题.6．设，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用定义法判断即可.【详解】当时，，充分性成立；反过来，当时，则，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.7．已知函数，则该函数的图象大致为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性确定函数的大致图象；也可以根据函数值的符号排除干扰项，即可得到正确选项．【详解】解:当时，，所以．记，则．显然时，，函数单调递减，时；，函数单调递增，所以，所以，又当时，，所以，所以函数在上单调递减．故排除B，D选项；而，故排除C选项．故选:A．【点睛】本题考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象、数学运算．8．当时，函数在处取得最大值，则a的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．【答案】B【解析】【分析】对分成三种情况进行分类讨论，结合函数的最值，求得的取值范围.【详解】当时，在上递增，所以在处取得最大值，符合题意.由此排除A、C选项.当时，开口向上，对称轴为，所以在上递增，所以在处取得最大值，符合题意.当时，开口向下，要使处取得最大值，则，解得.综上所述，a的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查根据一次函数、二次函数最值求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.9．已知，则是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对分别赋值，建立方程组，解之即可.【详解】∵∴ ，解得：，故选：A【点睛】本题考查函数求值问题，考查赋值法，建立所求量的方程组是解题的关键.10．幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（   ）A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅷ D．Ⅲ和Ⅶ【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出的图像在第一象限中经过的“卦限”【详解】在直线左侧,幂函数的指数越大月接近轴.因为,所以在左侧部分位于的右侧,即Ⅲ 内;在直线右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,所以在右侧部分位于的下方侧,即Ⅶ 内;综上可知, 函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ故选:D【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.11．已知函数 ，若，则实数取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】画出函数图像得到函数单调性，计算得到答案.【详解】画出函数图像知：函数单调递增，，故，解得.故选：.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12．已知函数有下述四个结论，其中正确的结论是（    ）A． B．是奇函数C．在上单增 D．对任意的实数a，方程都有解【答案】ABD【解析】【分析】由函数式对每个选项进行判断．【详解】，，A正确；，是奇函数，B正确；在上是减函数，C错；由于时，，时，，即的值域是，它又是上的减函数，因此对任意实数，有唯一解，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的值域．利用指数函数性质是解题关键．评卷人得分  二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y＝的定义域是________.【答案】{x|x≥－1且x≠0}【解析】【分析】根据分母不为零，以及被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.【详解】要使函数有意义，只要即x≥－1且x≠0.所以定义域为{x|x≥－1且x≠0}.故答案为：{x|x≥－1且x≠0}【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，只需注意分母不为零以及被开方数是非负数即可.14．若二次函数y=kx2-8x+1在区间[4，6]上是增加的，则实数k的取值范围是______．【答案】[1，+∞）【解析】【分析】二次函数单调区间，开口向上时对称轴右侧为递增区间，开口向下时对称轴左侧是递增区间.分类讨论即可求解【详解】∵二次函数y=kx2-8x+1在区间[4，6]上是增加的，对称轴x=，∴或，解可得k≥1，故答案为：[1，+∞）．【点睛】二次函数单调区间，需综合考虑开口方向和对称轴位置：开口向上函数先减后增，开口向下时函数先增后减.15．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】要使f（x）在R上的减函数，则满足，即所以故答案为：．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．16．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．【答案】3【解析】【分析】由幂函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且．解出即可．【详解】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，∴，且为偶数，，且.解得，，1，2，且,只有时满足为偶数.∴.故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.评卷人得分  三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分)17．已如集合，．（1）用区间表示集合和；（2）求和．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）分别根据一元二次不等式的解法和函数定义域的求法求得集合和集合；（2）由并集、补集和交集定义直接求解得到结果.【详解】（1）将不等式化为，解得：由得：    （2）由（1）可得：    【点睛】本题考查集合中的交集、并集和补集运算，涉及到一元二次不等式的求解、函数定义域的的问题，属于基础题.18．已知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数：（3）求函数在区间上的值域.【答案】(1) 奇函数    （2）证明见解析     （3）【解析】【分析】（1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可得出答案.
（2）由定义证明函数单调性的方法任取，且，作差化简判断符合，得出单调性结论.
(3)根据（2）的解题过程判断出函数在上的单调区间，从而根据单调性得出函数的值域.【详解】(1)由所以有所以为奇函数.(2) 任取，且.则 由，则，所以，所以即，所以所以函数在区间上是单调递增函数.(3)由（2）有在上是单调递增函数.在（2）的证明过程中，若，则则所以，所以所以函数在区间上是单调递减函数.所以函数在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数.又.所以函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、用定义法证明函数的单调性和利用单调性求函数值域,属于基础题.19．设.（1）当时，解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)代入参数值，解二次不等式即可；（2）不等式，即，故得到1，2是方程的两实根，根据韦达定理得到数值.【详解】（1）当时，不等式即为，∴或，因此原不等式的解集为.（2）不等式，即，由题意知，且1，2是方程的两实根，因此.【点睛】这个题目考查了二次不等式的解法，以及二次函数和二次不等式的关系，考查了二次不等式的韦达定理的应用，属于基础题.20．已知函数.（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.【答案】见解析【解析】（1）当时，，∴是的最小值，是的最大值.（2）的图象的对称轴为.∵在区间上是单调函数，∴或，∴或，∴实数的取值范围为.21．已知函数f（x）（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【答案】(1) {x|0＜x＜2}；(2) （﹣∞，0）∪[，+∞）．【解析】【分析】(1)等价于不等式，解之即得解；（2）等价于在（0，+∞）上恒成立，再利用基本不等式求函数的最小值即得解.【详解】（1）当a＝1时，f（x）．∵f（x）＞0，∴，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f（x）+g（x），∵f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，∴只需．∵当x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，∴，∴，∴a＜0或a，∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求最值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知函数的定义域为，对任意的实数均有，且当时， .（1）用定义证明的单调性.（2）求满足不等式的的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，利用函数定义得（可用变形），由已知可得单调性；（2）根据定义把不等式变形为，再求出，由单调性可解得不等式．【详解】解：（1）任意的，设     即 在定义域为上单调递增（2）  令得    由（1）得在定义域为上单调递增则  【点睛】本题考查抽象函数的单调性，解函数不等式．解不等式的关键是函数的单调性，赋值法是解抽象函数问题的基本方法．本题证明的关键是的变形：．