学易金卷：高一数学下学期期中测试卷03（测试范围：必修第二册第六、七、八章）

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期中测试卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟）（人教A版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(  )。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】A【解析】由得，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A。2．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】复数，根据共轭复数的概念得到的共轭复数为：，故选A。3．在中，，点满足，若，则的值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中点为，连接，则，∴，设，则，解得，∴是等边三角形，∴，故选C。4．如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形中易知，∴，则该几何体体积为，故选A。5．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】连接交于，连结，由题意得，∴平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，也等于点到平面的距离，作于，，，则为中点，为所求，故选A。6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为(  )。A、B、C、D、      【答案】A【解析】正如图，将三角形沿翻折后，注意以为底面，形成三角锥，则平面，∵，，∴，三角锥的外接球球心一定在经过底面的外心且垂直于底面的垂线上，设球心为，外心为，中点为，外接球半径为，由底面可知，做剖面，则，过做，垂足为，则为中点，，在中，，则，故选A。7．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图，与交于点，由得：四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵点是圆内一点，则，∴，故选A。8．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设球、半球的半径分别为、，则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，由题意得，得，根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，在中，，，，则，解得，∴球的表面积，故选B。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若复数满足，则关于复数的说法正确的是(  )。A、复数的实部为B、复数的虚部为C、复数的模长为D、复数对应的复平面上的点在第一象限【答案】ABC【解析】设()，则，化简得，根据对应相等得：，解得，，∴，，复数对应的复平面上的点在实轴上，故选ABC。10．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是(  )。A、B、C、D、【答案】AD【解析】如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则，如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则，故选AD。11．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是(  )。A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交B、若不垂直于，则与一定不垂直C、若，则必有D、若、，则必有【答案】BD【解析】A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，对，B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，错，C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，对，D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，错，故选BD。12．已知、是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是(  )。A、、的夹角是B、、的夹角是C、D、【答案】ABD【解析】由题可知，，∵ 、是两个单位向量，且的最小值为，∴的最小值为，则，解得，∴与的夹角为或，∴或，∴或，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设为虚数单位，已知复数满足，则复数的虚部为         。【答案】【解析】由得，故复数的虚部为。14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则       。【答案】【解析】连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，∴。15．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为         。【答案】D【解析】∵线段与线段交于点，设()，则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时最小，此时最大，又，故此时，∴，即，即的最大值为，故选D。16．如图所示，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，、分别是侧棱、上的动点，，点在棱上，且，若平面，则       。【答案】【解析】如图，连接交于，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，在上截取，连接，则，∴，∴四边形为平行四边形，则，又∵，，∴，从而。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设方程的根分别为、，且，求实数的值。【解析】若、为实数，则，，解得，                  4分若、为虚数，则且、共轭，，解得，                9分综上，或。                                                        10分18．（本小题满分12分）若、、是同一平面内的三个向量，其中。(1)若，且，求的坐标；(2)若且与垂直，求与的夹角。【解析】(1)设，∵，，∴，，                       2分又，∴，或，或，∴或；                                                  6分(2)∵与垂直，∴，即，         8分又，，代入上式解得，∴，          10分又，∴。                                                    12分19．（本小题满分12分）如图，矩形中，，。、分别在线段和上，，将矩形沿折起。记折起后的矩形为，且平面平面。(1)求证：平面；(2)若，求证：；(3)求四面体体积的最大值。     【解析】(1)证明：∵四边形，都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，      2分∴，∵平面，∴平面；                  4分(2)证明：连接，设，∵平面平面，且，∴平面，∴，又，∴四边形为正方形，∴，                6分∴平面，又平面，∴，                  8分(3)解：设，则，其中，由(1)得平面，∴四面体的体积为：，          10分当时，四面体的体积最大，其最大值为。                     12分20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且，。(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离。【解析】(1)证明：连接，由题意可知，，∴，则，∴，   2分∴，则，           3分则，即，∵平面平面，∴平面，                                                  4分又∵平面，∴，又∵，，∴平面；                                                  6分(2)由(1)得，又∵，∴，，               8分在中，，∴，则，       10分设点到平面的距离为，由等体积法可得，即，即，故点到平面的距离为。                                             12分21．（本小题满分12分）如图1，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长。       【解析】(1)证明：∵平面，∴，                                       1分又，，∴平面，∴，          2分由三视图得在中，，为中点，                   3分∴，，∴平面；                       4分(2)由三视图可得，由(1)知，平面，                  5分又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，∴所求三棱锥的体积；                              7分(3)取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求，          8分∵为中点，∴，∵平面，平面，           9分∴平面，连接、，四边形的对角线互相平分，          10分∴为平行四边形，∴，                                        11分又平面，∴在中，。              12分22．（本小题满分12分） 如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，。(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离。     【解析】(1)设，取中点，连接、，∵四边形是正方形，∴是的中点，又是的中点，∴，，            2分∵四边形是直角梯形，，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，                                 4分又平面，平面，∴平面，即平面；   6分(2) ∵，平面，平面，∴平面，∵，平面平面，平面，平面平面，∴平面，∴，                                 8分∵平面，平面，∴，，∵，平面平面，平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，在中，，，，在中，，，∴，        10分设点到平面的距离为，由得：，即，∴。           12分