2021学年2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习

2．1平面向量的实际背景及基本概念

一、选择题

1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)

A．6个　  B．7个

C．8个    D．9个

[答案]　D

[解析]　与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个．

2．在下列判断中，正确的是(　　)

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线．

A．①②③    B．②③④

C．①②⑤    D．①③⑤

[答案]　D

[解析]　由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.

3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)

A．平行四边形   B．矩形

C．菱形    D．等腰梯形

[答案]　C

[解析]　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵||＝||，∴四边形为菱形．

4．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是(　　)

A．有相同起点的相等向量

B．长度为1的向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

[答案]　C

[解析]　圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C.

5．下列关于向量的结论：

(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.

其中正确的序号为(　　)

A．(1)(2)    B．(2)(3)

C．(4)     D．(3)

[答案]　D

[解析]　(1)中只知|a|＝|b|，a与b的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|＝a，则x＝±a，错误迁移到向量中来．

(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的．

(3)正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．

(4)向量与数不同，向量不能比较大小．

6．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　)

A．||＝||

B.与共线

C.与共线

D.与共线

[答案]　C

[解析]　∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．

7．下列命题正确的是(　　)

A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线

B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线

C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线

D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

[答案]　D

[解析]　当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．

在▱ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；

若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．

8．下列说法正确的是(　　)

①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上

②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0

③向量的长度与向量的长度相等

④单位向量都相等

A．①③    B．②④

C．①④    D．②③

[答案]　D

[解析]　对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．

对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.

对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．

对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D.

二、填空题

9．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．

[答案]　2

[解析]　＝，＝.其余不等．

10．给出下列各命题：

(1)零向量没有方向；

(2)若|a|＝|b|，则a＝b；

(3)单位向量都相等；

(4)向量就是有向线段；

(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；

(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；

(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；

(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.

其中正确命题的序号是________．

[答案]　(5)(6)

[解析]　(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；

(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；

(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；

(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；

(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；

(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；

(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c；

(8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.

11．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.

[答案]　0

[解析]　∵A、B、C不共线，∴与不共线，

又∵m与、都共线，∴m＝0.

三、解答题

12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．

在图中所示的向量中：

(1)分别写出与，相等的向量；

(2)写出与共线的向量；

(3)写出与的模相等的向量；

(4)向量与是否相等？

[解析]　(1)＝，＝；

(2)与共线的向量为：，，；

(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；

(4)不相等．

13．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.

求证：＝.

[解析]　∵＝，

∴||＝||且AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB.

又∵与的方向相同，

∴＝.

同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.

∵||＝||，||＝||，

∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.

14．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

(1)与相等的向量共有几个；

(2)与平行且模为的向量共有几个？

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？

[分析]　非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．

[解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．

(2)与向量平行且模为的向量共有24个．

(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

15．如图所示，已知▱ABCD，▱AOBE，▱ACFB，▱ACGD，▱ACDH，点O是▱ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.

(1)写出图中与a相等的向量；

(2)写出图中与b相等的向量；

(3)写出图中与c相等的向量．

[解析]　(1)在▱OAEB中，＝＝a；在▱ABCD中，＝＝a，所以a＝＝.

(2)在▱ABCD中，＝＝b；在▱AOBE中，＝＝b，所以b＝＝.

(3)在▱ABCD中，＝＝c；在▱ACGD中，＝＝c，所以c＝＝.

16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？

[解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，

∴AC＝2000km.

又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，

即AD＝1000km，∠CAD＝45°.

答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.