《三角函数的图象和性质-图象平移伸缩及对称性》文字素材1（人教A版必修4）

三角函数图象的平移和伸缩 　　函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来相互转化．影响图象的形状，影响图象与轴交点的位置．由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．　　既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．　　变换方法如下：先平移后伸缩　　的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．例1　将的图象怎样变换得到函数的图象．解：（方法一）①把的图象沿轴向左平移个单位长度，得的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得的图象；④最后把所得图象沿轴向上平移1个单位长度得到的图象． （方法二）①把的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得的图象；③将所得图象沿轴向左平移个单位长度得的图象；④最后把图象沿轴向上平移1个单位长度得到的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母而言的．由的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是而不是，把的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式是而不是．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2　将的图象怎样变换得到函数的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：，在中以代，有．根据题意，有，得．所以将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象．                    三角函数图象的对称性 三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚．　　一、结论　　１．函数的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），的对称中心是，，对称轴为．特殊地，原点是其一个对称中心．的对称中心是，，对称轴为，．特殊地，轴是其一条对称轴．　　2．函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１　函数 的对称轴方程是（　　）Ａ．   Ｂ．Ｃ．    Ｄ．解：令，得．故选（Ａ）．说明：对于函数的对称性，可令，转化为函数的对称性求解．例2　由函数，与函数的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形的面积，所以封闭图形的面积．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３　函数的图象关于原点中心对称，则（　　）Ａ．     Ｂ．   Ｃ．   Ｄ．解：∵函数图象关于原点中心对称，且，∴函数图象过原点，即．，即．故选（Ｂ）．3．综合运用例４　已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值．解：是偶函数，轴是其对称轴，即轴经过函数图象的波峰或波谷，，又，．由的图象关于点对称，，即，又，．当时，，在上是减函数；当时，，在上是减函数；当时，，在 上不是单调函数．综上所述，或．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．的图象关于点对称亦可转化为，再令得到，再得到．