2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：2-2圆内接四边形的性质与判定定理 Word版含解析

一、选择题1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　)．①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形③∠A的外角与∠C的外角互补④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个解析　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案　B2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A为(　　)．A．55°   B．50°C．45°   D．40°解析　由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠A＝(180°－∠E－∠F)＝50°.答案　B3．圆内接平行四边形一定是(　　)．A．正方形   B．菱形C．等腰梯形   D．矩形解析　由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案　D4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形(　　)．A．5对    B．4对    C．3对    D．2对解析　由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.答案　B二、填空题5．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．解析　由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．答案　B、C、E、F6．若圆内接四边形中三个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．解析　四边形ABCD内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×＝120°，最小角为360°×＝60°.答案　120°　60°7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.解析　由∠A＝∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.答案　30°　150°8．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.解析　由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1.答案　1或－1三、解答题9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．证明　∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，∴OA＝OC＝OB＝OD.则点A、B、C、D到点O的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．10．如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.证明　连接BD，因为AB∥CD，所以BD＝AC.因为A、B、D、F四点共圆，所以∠EBD＝∠F.因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，所以△EBD∽△EFA.所以＝.所以＝，即AE·AC＝AF·DE.11．(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.证明　(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.