北京市大兴区2021届高三下学期4月定位考试（一模）数学试题 Word版含答案

2020-2021学年北京市大兴区高三定位一模考试

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则

（A） （B）

（C） （D）

（2）已知，，，则

（A） （B）

（C） （D）

（3）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则角的终边在

（A）第一象限  （B）第二象限

（C）第三象限  （D）第四象限

（4）在的展开式中，的系数为

（A） （B）

（C） （D）

（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为

（A） （B）

（C） （D）

（6）已知函数，则“”是“为奇函数”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是

（A） （B）

（C） （D）

（8）等差数列的前项和为．已知，．记，则数列的

（A）最小项为  （B）最大项为

（C）最小项为  （D）最大项为

（9）抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为

（A） （B）

（C） （D）

（10）在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则

（A）在正方形内一定存在一点，使得

（B）在正方形内一定存在一点，使得

（C）在正方形内一定存在一点，使得平面平面

（D）在正方形内一定存在一点，使得平面

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数的定义域为________．

（12）已知双曲线（其中）的渐近线方程为，则________，的右焦点坐标为________．

（13）已知平面向量与的夹角为，则________．

（14）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则

满足条件的一组值可以是________，________．(只需写出一组)

（15）已知曲线，，其中．

①当时，曲线与有个公共点；

②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；

③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；

④，曲线围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数．

其中，所有正确结论的序号是________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的面积．

条件①：，；

条件②：，为等腰三角形．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题共14分）

如图，长方体中,，

，点为的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（18）（本小题14分）

某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：

（Ⅰ）若某位顾客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分期付款的概率；

（Ⅱ）电商平台销售一部型手机，若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部型手机所获得的利润为(单位:元)，求的分布列；

（Ⅲ）比较与的大小．（只需写出结论）

（19）（本小题14分）

已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；

（Ⅱ）若在上单调递增，求的最大值；

（Ⅲ）请直接写出的零点个数.

（20）（本小题14分）

已知椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆交于两点，直线与直线垂直，且与椭圆的另一个交点为．

（i）当点为椭圆的右顶点时，求证：为等腰三角形；

（ii）当点不是椭圆的顶点时，求直线和直线的斜率之比.

（21）（本小题15分）

对于给定的区间和非负数列若存在使，成立，其中，，则称数列可“嵌入”区间.

（Ⅰ）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间；

①；②.

（Ⅱ）已知数列满足，若数列可“嵌入”区间，求数列的项数的最大值；

（Ⅲ）求证：任取数列满足，均可以“嵌入”区

间.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

2020-2021学年北京市大兴区高三定位考试

数学参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）A          （2）D          （3）D（4）B           （ 5 ）C

（6）C          （7）B（8）C（9）D（10）A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）      （12）　　

（13）       （14）　　（答案不唯一）

（15）①③④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共14分）

解：选条件①：，

（Ⅰ）在中，因为， …………3分

　　　且，，

所以 

所以，（舍）． …………5分

由正弦定理得． …………8分

因为，

所以． …………9分

所以． …………10分

（Ⅱ）因为 …………13分

在中，，，

所以． …………14分

选条件②：，为等腰三角形．

（Ⅰ）在中，因为，

所以为钝角． 

因为为等腰三角形，

所以为顶角．

所以． …………2分

因为， …………5分

所以．

由正弦定理得． …………8分

因为，

所以． …………9分

所以． …………10分

（Ⅱ）因为 …………13分

在中，，，

所以． …………14分

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）连接交于点，连接．

 因为为长方体，

所以为矩形．

 所以点为中点．

 又因为为中点，

所以在中，． …………2分

 又平面，平面， …………4分

 所以平面． …………5分

（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．…………6分

则，

所以，，．

所以

所以 …………8分

又， …………9分

所以平面． …………10分

（Ⅲ）因为为长方体，

所以平面 

所以取平面的法向量为， …………11分

再由（Ⅱ），取平面的法向量为． …………12分

所以． 

由题知二面角为钝角，所以其余弦值为． …………14分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）设事件为“这位顾客两种手机都选择分期付款”． …………1分

故． …………4分

（Ⅱ）的所有可能值为． …………5分

所以的分布列为

 …………11分

（Ⅲ）． …………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）因为，

所以． …………2分

．

由题设知，

即，解得． …………5分

（Ⅱ）设．

所以． …………7分

令,．

因为当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的最小值为，

即的最小值为． …………9分

因为在上单调递增，

所以对成立．

所以．

所以的最大值为． …………11分

（Ⅲ）当时，只有1个零点． …………12分

当时，有3个零点． …………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆方程，

所以． …………1分

所以． …………2分

所以离心率． …………4分

（Ⅱ）（i）设．

由题设知，． …………5分

因为，

所以点在以线段为直径的圆上，

所以有． …………6分

又． …………7分

解得（舍）． 

所以． …………9分

所以．

又． …………10分

所以，即为等腰三角形．

（ii）法1：设，且,,.

记直线的斜率分别为.

所以. …………11分

因为，

所以. …………12分

又.

因为

所以. …………13分

所以.

所以，即直线和直线的斜率之比为. …………14分

（ii）法2：因为点不是椭圆的顶点，

所以直线的斜率都存在且不为0，

设直线的方程为

由得

由所以.

设,的中点.

因为 …………12分

所以

， …………13分

因为

所以

又因为

所以.

所以. …………14分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）①不可以；②可以. …………4分

（Ⅱ）因为，

所以. …………6分

当为奇数时，取

当为偶数时，取

此时可取，所以． …………10分

（Ⅲ）设数列满足，

构造数列如下：

，其中.

根据的定义知道，

当时，因为，所以.

当时，因为，所以.

而

所以

所以任取数列满足，均可以“嵌入”区间.