高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式导学案

3.4基本不等式

教学目的：

1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等

3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力能够解决一些简单的实际问题

教学重点：均值定理证明

教学难点：等号成立条件

教学过程：

一、讲解新课：

1．重要不等式：

如果  

证明：

当

所以，，即

由上面的结论，我们又可得到

2．定理：如果a,b是正数，那么

证明：∵

，即

显然，当且仅当

说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

三、讲解范例：

例1、 已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

ⅱ) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在

例2、已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：

例3、 已知为两两不相等的实数，求证：

例4、 已知a,b,c,d都是正数，求证：

例5、（1）用篱笆围一个面积为100平米的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 

    （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

例6、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案

四、课堂练习：

1已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

2已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3

分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形

五、知识拓展

1公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2

2． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

3．如果，那么（当且仅当时取“=”）

4．如果，那么 （当且仅当时取“=”）

5．关于“平均数”的概念

如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数

推广： ≥   

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用

五、小结 ：本节课，我们学习了基本不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题