高中2.1 数列的概念与简单表示法综合训练题

课时作业(二十六)　[第26讲　数列的概念与简单表示法]

[时间：45分钟　分值：100分]

1．[2011·阜阳质检]  数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)

B．an＝(－1)n－1(n∈N＋)

C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋)

D．an＝(－1)n－1(n∈N＋)

2．[2010·安徽卷]  设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)

A．15  B．16 

C．49  D．64

3．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．[2011·沈阳模拟]  已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则a16＝________.

5．[2011·福州质检]  把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K26－1)．则第7个三角形数是(　　)

图K26－1

A．27  B．28  C．29  D．30

6．[2011·太原模拟]  已知Sn是非零数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则S2011等于(　　)

A．1－22010  B．22011－1

C．22010－1  D．1－22011

7．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是(　　)

A．9900  B．9902

C．9904  D．11000

8．已知数列{an}中，a1＝1，＝＋3(n∈N*)，则a10＝(　　)

A．28  B．33

C.  D.

9．[2011·黄冈中学模拟]  已知数列{an}的通项an＝(a，b，c∈(0，＋∞))，则an与an＋1的大小关系是(　　)

A．an>an＋1 

B．an<an＋1

C．an＝an＋1 

D．不能确定

10．[2011·朝阳二模]  已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式an＝________.

11．[2011·淮南一模]  已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.

12．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{an}的通项公式为________________________________________________________________________；

数列{nan}中数值最小的项是第________项．

13．[2011·厦门质检]  若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10.f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2013(4)＝________.

14．(10分)在2011年10月1日的国庆阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的步兵方阵．

(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数；

(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；

(3)把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an＝f(n)；

(4)已知an＝9900，问an是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？

(5)画出an＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？

15．(13分)[2011·蚌埠调研]  已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)判断数列{cn}的单调性；

(3)当n≥2时，T2n＋1－Tn<－loga(a－1)恒成立，求a的取值范围．

16．(1)(6分)[2011·浙江卷] 若数列中的最大项是第k项，则k＝________.

(2)(6分)[2010·湖南卷]  若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*＝________，((an)*)*＝________.

课时作业(二十六)

【基础热身】

1．D　[解析] 观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D.

2．A　[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，则a8＝2×8－1＝15，故选A.

3．C　[解析] 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，

由a3·a2＝a2＋(－1)3，得a3＝，

又由a4＝＋(－1)4，得a4＝3，

由3a5＝3＋(－1)5，得a5＝，则＝＝，故选C.

4.　[解析] 由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a16＝a1＝.

【能力提升】

5．B　[解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.

6．B　[解析] 当n＝1时，S1＝2a1－1，得S1＝a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入Sn＝2an－1，得

Sn＝2Sn－1＋1，即Sn＋1＝2(Sn－1＋1)，

∴Sn＋1＝(S1＋1)·2n－1＝2n，∴S2011＝22011－1，故选B.

7．B　[解析] a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2

＝2·＋2＝9902，故选B.

8．D　[解析] 对递推式叠加得－＝27，故a10＝.

9．B　[解析] 把数列{an}的通项化为an＝＝，

∵c>0，∴y＝是单调递减函数，又∵a>0，b>0，∴an＝为递增数列，

因此an<an＋1，故选B.

10.　　[解析] 当n＝1时，由递推公式，有a2a1＋a2－2a1＝0，得a2＝＝；

同理a3＝＝，a4＝＝，由此可归纳得出数列{an}的通项公式为an＝.

11．350　[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝12＋2－1＝2，

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n－1)－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，

又a1＝2不适合上式，则数列{an}的通项公式为an＝

所以a1＋a3＋a5＋…＋a25＝(a1＋1)＋a3＋a5＋…＋a25－1＝×13－1＝350.

12．an＝2n－11　3　[解析] n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11；

n＝1时，a1＝S1＝－9符合上式．

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－11.

∴nan＝2n2－11n，

∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．

13．5　[解析] 因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，

f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，而2013＝3×671，

故f2013(4)＝5.

14．[解答] (1)该数列为6,12,20,30,42，…；

(2)a5＝42，a6＝56；

(3)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)；

(4)由9900＝(n＋1)(n＋2)，解得n＝98，an是第98项，此时步兵方阵有99行，100列；

(5)f(n)＝n2＋3n＋2，如图，图象是分布在函数f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28.

15．[解答] (1)当n＝1时，a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．

∴数列{bn}的通项公式为bn＝

(2)∵cn＝T2n＋1－Tn，

∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1

＝＋＋…＋，

∴cn＋1－cn＝＋－<0，

∴数列{cn}是递减数列．

(3)由(2)知，当n≥2时c2＝＋＋为最大，

∴＋＋<－loga(a－1)恒成立，

∴1<a<.

【难点突破】

16．(1)4　(2)2　n2　[解析] (1)设最大项为第k项，则有

∴ ⇒ ⇒k＝4.

(2)本题以数列为背景，通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力，属于难题．因为am<5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2.

因为(a1)*＝0，

(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，

(a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2，

(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3，

所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16，

猜想((an)*)*＝n2.