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数学必修52.1 数列的概念与简单表示法复习ppt课件
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这是一份数学必修52.1 数列的概念与简单表示法复习ppt课件，共45页。PPT课件主要包含了数列的分类，列表法，图象法，解析法，序号n，anfn，Sn-Sn-1，an-1，an+1，题型分类深度剖析等内容，欢迎下载使用。
3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 .4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可 以用一个公式 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
基础自测1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
2.数列1， ，…的一个通项公式an是（ ） A. B. C. D. 解析 ∵1可以写成 ，∴分母为3，5，7，9， 即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故 为n(n+2)，即 . 此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故 排除A、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 （ ） A.1B.-1C.5D.-5 解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4， 1，5，4，…. 由此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1， 两式相加可得an+3=-an，an+6=an， ∴a100=a16×6+4=a4=-1.
4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1, 则a4等于( ） A.7B.8C.9D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.
5.数列{an}中， ，Sn=9，则n= . 解析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… （3） （4） （5）0，1，0，1，…
思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).（2）将数列变形为
（1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求.（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，…（2） （3） （4）3，33，333，3 333，… 解（1）因为各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2. （2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为 21，22，23，24，25，…，故所求数列的一个通 项公式可写为 .
（3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来调整，而后去掉负号，观察可得.将第二项-1写成 .分母可化为3,5,7,9,11,13,…为正奇数，而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，…故其一个通项公式可写为（4）将数列各项改写为 …，分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，…,所以
题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式. （1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an； （3）a1=2，an+1=an+ （1）构造等比数列；（2）转化后 利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解. 解 （1）∵an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1）， ∴数列{an+1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2, ∴an+1=2·3n-1，∴an=2·3n-1-1.
探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；当出现 时，用累乘法求解.
知能迁移2 根据下列各个数列{an}的首项和基本 关系式，求其通项公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n≥2); （2）a1=1,an= an-1 (n≥2). 解 （1）∵an=an-1+3n-1 (n≥2), ∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, …… a2=a1+31. 以上（n-1）个式子相加得 an=a1+31+32+…+3n-1 =1+3+32+…+3n-1= .
题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= ,求an. 由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n≥2)代 入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推 得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn， 再得an.
解 ∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，
数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ,此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一.当n≥2时求出an也适合n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.
知能迁移3 已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an} 的通项公式： （1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b. 解 （1）a1=S1=2-3=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（2n2-3n）-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5， 由于a1也适合此等式，∴an=4n-5. （2）a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1. 当b=-1时，a1适合此等式； 当b≠-1时，a1不适合此等式. ∴当b=-1时，an=2·3n-1; 当b≠-1时，
题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为 . （1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性. （1）令an=0.98,看能否求出正整数n; （2）判断an+1-an的正负. 解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n, 满足 =0.98，∴n2=0.98n2+0.98. ∵n=7时等式成立，∴0.98是它的项.
∴此数列为递增数列. （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.
知能迁移4 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n （n∈N*）. （1）求{an}的通项公式； （2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少? 解 （1）n=1时，a1=S1=23. n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1) =-2n+25. 经验证，a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25（n∈N*）.
（2）方法一 ∵Sn=-n2+24n，∴n=12时，Sn最大且Sn=144.方法二 ∵an=-2n+25，∴an=-2n+25＞0，有n＜ .∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.
方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=
3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路： （1）算出前几项，再归纳、猜想； （2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =p(an+ ),由待定系数法求出 ，再化为等比数列； （3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.
失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第 100项是 （） A.14B.12C.13D.15 解析 易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1+2+3+…+n= .易得n=13时，最后一项为第91项，n=14共有14个，故第100项为14.
2. 已知数列{an}中，a1=b (b为任意正数)，an+1= (n=1,2,3,…)，能使an=b的n的数值是 （） A.14B.15C.16D.17 解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b, ∴此数列的周期为3, ∴能使an=b的n的数值满足n=3k-2 (k∈N*).
3.在数列{an}中，a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n≥2,n∈N*), 则 的值是（） A. B. C. D. 解析 由已知得a2=1+(-1)2=2, ∴a3·a2=a2+(-1)3,∴a3= , ∴ a4= +(-1)4,∴a4=3, ∴3a5=3+(-1)5,∴a5= , ∴
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为 （） A.91B.152C.218D.279 解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.
5.已知数列{an}满足a1=0,an+1= (n∈N*)， 则a20等于（） A.0 B. C. D. 解析 a2= a4= =0,∴数列{an}是周期为3的一个循环数 列, ∴a20=a3×6+2=a2= .
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak ＜8,则k等于（） A.9B.8C.7D.6 解析 ∵Sn=n2-9n ∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10 a1=S1=-8适合上式，∴an=2n-10 （n∈N*） ∴5＜2k-10＜8,得7.5＜k＜9.∴k=8.
二、填空题7.已知{an}的前n项和为Sn，满足lg2(Sn+1)=n+1,则 an= . 解析 由已知条件可得Sn+1=2n+1. ∴Sn=2n+1-1， 当n=1时，a1=S1=3, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n， n=1时不适合an，∴an=
3（n=1）2n（n≥2）
8.（2008·四川文，16）设数列{an}中，a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= . 解析 由an+1-an=n+1可得， an-an-1=n， an-1-an-2=n-1, an-2-an-3=n-2， …… a3-a2=3， a2-a1=2， 以上n-1个式子左右两边分别相加得， an-a1=2+3+…+n， ∴an=1+（1+2+3+…+n）= +1.
9.(2009·北京理,14)已知数列{an}满足：a4n-3=1, a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009= , a2 014= . 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0.
三、解答题10.已知数列{an}的通项an=(n+1) (n∈N*)， 试问该数列{an}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由. 解 ∵an+1-an=（n+2） 当n＜9时，an+1-an＞0,即an+1＞an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n＞9时，an+1-an＜0,即an+1＜an. 故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12＞…, 所以数列中有最大项为第9、10项.
11.已知数列{an}中，an= (n∈N*,a∈R, 且a≠0). （1）若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 解 （1）∵an= （n∈N*，a∈R，且 a≠0）， ∵a=-7,∴an= (n∈N*). 结合函数f(x)= 的单调性.
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4;a5＞a6＞a7＞…＞an＞1 (n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.（2）an=1+∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立，并结合函数f(x)=1+ 的单调性，∴5＜ ＜6,∴-10＜a＜-8.
12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足： ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素； ②在定义域内存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1) ＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）. （1）求函数f(x)的表达式； （2）求数列{an}的通项公式. 解 （1）∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4， 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减， 故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，
3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 .4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与 之间的关系可 以用一个公式 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
基础自测1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
2.数列1， ，…的一个通项公式an是（ ） A. B. C. D. 解析 ∵1可以写成 ，∴分母为3，5，7，9， 即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故 为n(n+2)，即 . 此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故 排除A、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 （ ） A.1B.-1C.5D.-5 解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4， 1，5，4，…. 由此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1， 两式相加可得an+3=-an，an+6=an， ∴a100=a16×6+4=a4=-1.
4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1, 则a4等于( ） A.7B.8C.9D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.
5.数列{an}中， ，Sn=9，则n= . 解析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… （3） （4） （5）0，1，0，1，…
思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).（2）将数列变形为
（1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求.（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，…（2） （3） （4）3，33，333，3 333，… 解（1）因为各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2. （2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为 21，22，23，24，25，…，故所求数列的一个通 项公式可写为 .
（3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来调整，而后去掉负号，观察可得.将第二项-1写成 .分母可化为3,5,7,9,11,13,…为正奇数，而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，…故其一个通项公式可写为（4）将数列各项改写为 …，分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，…,所以
题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式. （1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an； （3）a1=2，an+1=an+ （1）构造等比数列；（2）转化后 利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解. 解 （1）∵an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1）， ∴数列{an+1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2, ∴an+1=2·3n-1，∴an=2·3n-1-1.
探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；当出现 时，用累乘法求解.
知能迁移2 根据下列各个数列{an}的首项和基本 关系式，求其通项公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n≥2); （2）a1=1,an= an-1 (n≥2). 解 （1）∵an=an-1+3n-1 (n≥2), ∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, …… a2=a1+31. 以上（n-1）个式子相加得 an=a1+31+32+…+3n-1 =1+3+32+…+3n-1= .
题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= ,求an. 由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n≥2)代 入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推 得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn， 再得an.
解 ∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，
数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ,此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一.当n≥2时求出an也适合n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.
知能迁移3 已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an} 的通项公式： （1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b. 解 （1）a1=S1=2-3=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（2n2-3n）-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5， 由于a1也适合此等式，∴an=4n-5. （2）a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1. 当b=-1时，a1适合此等式； 当b≠-1时，a1不适合此等式. ∴当b=-1时，an=2·3n-1; 当b≠-1时，
题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为 . （1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性. （1）令an=0.98,看能否求出正整数n; （2）判断an+1-an的正负. 解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n, 满足 =0.98，∴n2=0.98n2+0.98. ∵n=7时等式成立，∴0.98是它的项.
∴此数列为递增数列. （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.
知能迁移4 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n （n∈N*）. （1）求{an}的通项公式； （2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少? 解 （1）n=1时，a1=S1=23. n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1) =-2n+25. 经验证，a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25（n∈N*）.
（2）方法一 ∵Sn=-n2+24n，∴n=12时，Sn最大且Sn=144.方法二 ∵an=-2n+25，∴an=-2n+25＞0，有n＜ .∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.
方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=
3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路： （1）算出前几项，再归纳、猜想； （2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =p(an+ ),由待定系数法求出 ，再化为等比数列； （3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.
失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第 100项是 （） A.14B.12C.13D.15 解析 易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1+2+3+…+n= .易得n=13时，最后一项为第91项，n=14共有14个，故第100项为14.
2. 已知数列{an}中，a1=b (b为任意正数)，an+1= (n=1,2,3,…)，能使an=b的n的数值是 （） A.14B.15C.16D.17 解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b, ∴此数列的周期为3, ∴能使an=b的n的数值满足n=3k-2 (k∈N*).
3.在数列{an}中，a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n≥2,n∈N*), 则 的值是（） A. B. C. D. 解析 由已知得a2=1+(-1)2=2, ∴a3·a2=a2+(-1)3,∴a3= , ∴ a4= +(-1)4,∴a4=3, ∴3a5=3+(-1)5,∴a5= , ∴
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为 （） A.91B.152C.218D.279 解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.
5.已知数列{an}满足a1=0,an+1= (n∈N*)， 则a20等于（） A.0 B. C. D. 解析 a2= a4= =0,∴数列{an}是周期为3的一个循环数 列, ∴a20=a3×6+2=a2= .
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak ＜8,则k等于（） A.9B.8C.7D.6 解析 ∵Sn=n2-9n ∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10 a1=S1=-8适合上式，∴an=2n-10 （n∈N*） ∴5＜2k-10＜8,得7.5＜k＜9.∴k=8.
二、填空题7.已知{an}的前n项和为Sn，满足lg2(Sn+1)=n+1,则 an= . 解析 由已知条件可得Sn+1=2n+1. ∴Sn=2n+1-1， 当n=1时，a1=S1=3, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n， n=1时不适合an，∴an=
3（n=1）2n（n≥2）
8.（2008·四川文，16）设数列{an}中，a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= . 解析 由an+1-an=n+1可得， an-an-1=n， an-1-an-2=n-1, an-2-an-3=n-2， …… a3-a2=3， a2-a1=2， 以上n-1个式子左右两边分别相加得， an-a1=2+3+…+n， ∴an=1+（1+2+3+…+n）= +1.
9.(2009·北京理,14)已知数列{an}满足：a4n-3=1, a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009= , a2 014= . 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0.
三、解答题10.已知数列{an}的通项an=(n+1) (n∈N*)， 试问该数列{an}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由. 解 ∵an+1-an=（n+2） 当n＜9时，an+1-an＞0,即an+1＞an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n＞9时，an+1-an＜0,即an+1＜an. 故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12＞…, 所以数列中有最大项为第9、10项.
11.已知数列{an}中，an= (n∈N*,a∈R, 且a≠0). （1）若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 解 （1）∵an= （n∈N*，a∈R，且 a≠0）， ∵a=-7,∴an= (n∈N*). 结合函数f(x)= 的单调性.
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4;a5＞a6＞a7＞…＞an＞1 (n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.（2）an=1+∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立，并结合函数f(x)=1+ 的单调性，∴5＜ ＜6,∴-10＜a＜-8.
12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足： ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素； ②在定义域内存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1) ＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）. （1）求函数f(x)的表达式； （2）求数列{an}的通项公式. 解 （1）∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4， 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减， 故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，
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