2023年上海市长宁区重点中学高考数学三模试卷

2023年上海市长宁区重点中学高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果，，则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知是两个非零向量，那么“”是“存在，使得”成立的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.  如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是(    )

A. 存在平面与直线垂直
B. 四边形可能是正方形
C. 不存在平面与直线平行
D. 任意平面与平面垂直

4.  已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是(    )

A. 的三边长一定成等差数列
B. 的三边长一定成等比数列
C. ，，的面积一定成等差数列
D. ，，的面积一定成等比数列
 

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知集合，，则 ______ ．

6.  在的展开式中，的系数为           用数字作答

7.  已知随机事件，满足，，则 ______ ．

8.  已知直线：和：，若，则 ______ ．

9.  在复平面内，复数所对应的点为则 ______ ．

10.  若一个圆柱的侧面积是，高为，则这个圆柱的体积是______ ．

11.  在数列中，，且，设为数列的前项和，则 ______ ．

12.  在平面直角坐标系中，若双曲线：的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 ______ ．

13.  某学校为了解该校学生开展志愿者活动的情况，随机抽取了名学生，对他们本学期参与志愿者活动时长进行了统计，已知统计数据如下表所示：

则该校学生开展志愿者活动时长的第百分位数是______ ．

14.  已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则 ______ ．

15.  已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是______ ．

16.  已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
求方程的解集；
求函数在上的单调增区间．

18.  本小题分
已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，．
求证：；
设，在线段上是否存在点异于点，使得二面角的大小为．

19.  本小题分
由于病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共名学生中随机抽取人，并对这人进行逐个抽血化验，化验结果如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，已知指数不超过表示血液中不含病毒；指数超过表示血液中含病毒且该生已感染病毒．
从已获取的份血样中任取份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；
已知该校共有人，现在学校想从还未抽血化验的人中，把已感染病毒的学生全找出．
方案：逐个抽血化验；
方案：按人分组，并把同组的人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的人的另一份血样逐份化验；
方案：将方案中的人一组改为人一组，其他步骤与方案相同．
如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？可供参考数据：，，，

20.  本小题分
已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点．
求椭圆的方程；
设圆：若直线与圆相切，求点的坐标；
若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．

21.  本小题分
已知，．
当时，求函数的单调减区间；
当时，曲线在相异的两点，点处的切线分别为和，和的交点位于直线上，证明：，两点的横坐标之和小于；
当时，如果对于任意，，，总存在以，，为三边长的三角形，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
利用不等式的性质结合特殊值即可判断出正误．
【解答】
解：，，，，不一定成立，
如，时，，，
，时，，
所以选项A，，不正确
因为，所以选项C正确，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：若，则存在唯一的实数，使得，故，
又因为，
所以存在使得成立，
所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若，且，则与方向相同，故此时，
所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充要条件．
故选：．
根据向量共线的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了向量共线的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，面，小于，若直线与平面垂直，
则直线，与小于矛盾，平面与直线不可能垂直，故A错误；
对于，在正方体中，由正方体的结构特征可知，平面，
面，，若是正方形，有，可得平面，
这样过点有两条直线与平面垂直，故B错误；
对于，当、分别为所在棱的中点时，平面与直线平行，故C错误；
对于，由正方体的结构特征可知，，，
面，面，面，面，
面，任意平面与平面垂直，故D正确．
故选：．
由反证法思想判定与；举例说明C错误；直接证明D正确．
本题考查线面垂直和面面垂直的判定与性质，考查推理论证能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，则，
设，，，，
在中，可得，
可得，
在中，可得，
在中，可得，
又，
即，
则
，
可得，
即有的三边长一定成等比数列，
故选：．
设，则，设，，，，在中，运用正弦定理，在和中，由正弦函数和余弦函数的定义，可得，，运用三角函数的和差公式、二倍角公式，化简整理，结合等比数列中项性质，即可得到结论．
本题考查三角形的三边长成等比数列的判断，考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于难题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
利用交集及其运算求解即可．
本题考查了交集及其运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理，属于基础题．
写出展开式的通项公式，求出的系数．

【解答】

解：的展开式通项公式为，
令，得，故的系数为．
故答案为：．

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，．
故答案为：．
根据题意，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线：和：，
若，则有，解可得．
故答案为：．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于的方程，解可得答案．
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题得：，，．
故答案为：．
由复数的几何意义得到，，再由复数的运算法则直接求得．
本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：圆柱的侧面积是，，
所以体积．
故答案为：．
根据圆柱的侧面积公式求出底面圆的半径，进而可求解．
本题主要考查圆柱体积的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：数列中，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为，
所以．
故答案为：．
由题意确定数列是首项为，公比为的等比数列，求出前项和，再求的值．
本题考查了等比数列的定义与应用问题，也考查了简单的极限计算问题，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，若双曲线：的右焦点恰好是抛物线的焦点，
可得，
所以．
故答案为：．
利用已知条件求解双曲线的右焦点的横坐标，然后求解即可．
本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故第百分位数是第个数和第个数的平均数，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为平面向量，且，
所以，如图所示：
又因为，，
所以，，，，
所以，，，
又因为，，所以，，，
所以，，
又因为，是锐角，所以，．
故答案为：．
根据题意画出图形，结合图形表示出，，由此得出，，，再根据，求出，的值，即可得出结论．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，则函数在上单调递增，
，，，
又对于任意，都存在，使得成立，转化为，
故是值域的子集，
，解得，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意得函数在上单调递增，当时，，，题意转化为，即是值域的子集，即，求解即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，函数，
则的函数图像与直线至少有个公共点，
横坐标分别为，，，，，
根据绝对值函数的性质知：
当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，
此时最多有个交点，不满足题意，
当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点，
所以，且，
所以，即，
，
所以，
所以，
故答案为：．
设等差数列的公差为，函数，则的函数图像与直线至少有个公共点，横坐标分别为，，，，，分两种情况：当为奇数时，当为偶数时，讨论函数图像与交点个数，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
方程，即，
，，求得，，
故方程的解集为．
对于，令，，
求得，，
可得函数的增区间为，．
再结合，可得函数在上的单调增区间为、． 

【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求得值．
由题意，利用正弦函数的单调性，求得函数在上的单调增区间．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：在中，由余弦定理可得，
故BC，，则，故AD，
又，、面，，故AD平面，
面，故AD．
和所在的平面互相垂直，
平面平面，，面，故AE平面，
如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，设，，
可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，可取，
，解得，不满足题意，
综上，在线段上不存在点异于点，使得二面角的大小为． 

【解析】由余弦定理可得故BC，从而得到，即可证明平面，即可证明；
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，，求得平面和平面的一个法向量，列式解得即可．
本题考查了空间线面位置关系、空间二面角的求解，考查了运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：分血样中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，
混合血样含病毒的概率．
设每次化验的费用为，每个人感染病毒的概率为，
方案：费用为；
方案：每组化验次数的分布列为：

，
故总费用为；
方案：每组化验次数的分布列为：

，
故总费用为．
综上所述：选用方案更合算． 

【解析】确定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，计算得到答案；
设每次化验的费用为，分别计算，，方案所需要的费用分别为，，，对比得到答案．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：椭圆：的离心率是，
解得，
故椭圆方程为：．
圆：，即，
故圆心，半径，，

设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
当时，，解得或舍，故，
当时，，解得或舍，故，
故或；
设，，，
，，三点共线，则，即，
解得，同理可得，
． 

【解析】根据离心率得到，得到椭圆方程．
确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案．
设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：易知，
 令，
，
，
函数单调递减区间；
证明：当时，，
设在点、处切线的交点位于直线上一点，
，
在点处的切线斜率为，
在处的切线方程为，
切线过点，
，
，
同理，
可得，
，
，
，
，
，
，
、 两点的横坐标之和小于；
由题设知，，即，
，
，
，
，
时，，单调递减；当时，，单调递增
当时，有最小值，
，，，
由得；由得，
，
，
不等式可化为，
令，则，
为增函数，
，
当时，恒成立，即成立，
实数的取值范围为． 

【解析】求导函数，令，结合，可得函数单调递减区间；
设在点、处切线的交点位于直线上一点，求出切线方程，代入点的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得、 两点的横坐标之和小于；
先确定，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数的取值范围．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查存在性问题的研究，正确求导是关键．