人教版新课标A选修2-11.4全称量词与存在量词复习练习题

全称量词　存在量词

（45分钟  100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.(2013·安阳高二检测)下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)

A.每一个二次函数的图象都是开口向上

B.存在一条直线与两个相交平面都垂直

C.存在一个实数x0,使-3x0+6<0

D.对任意c≤0,若a≤b+c,则a≤b

2.(2013·唐山高二检测)下列命题中,真命题是(　　)

A.∀x∈R,x2≥x

B.命题“若x=1,则x2=1”的逆命题

C.∃x0∈R,≥x0

D.命题“若x≠y,则sinx≠siny”的逆否命题

3.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是(　　)

A.m<1       B.m>-1

C.-1<m<1      D.-1≤m≤1

4.下列命题:

①存在x0<0,使|x0|>x0;

②对于一切x<0,都有|x|>x;

③已知an=2n,bn=3n,对于任意n∈N*,都有an≠bn;

④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B=∅.

其中,所有正确的命题为(　　)

A.①②      B.②③

C.①②③      D.①②③④

5.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是(　　)

A.∃x0∈R,≤0

B.∀x∈R,2x>x2

C.a+b=0的充要条件是=-1

D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.若对于任意x∈R,都有ax2+2x+a<0,则实数a的取值范围是　　　　.

7.下列四个命题:

p1:∃x0∈(0,+∞),(<(;

p2:∃x0∈(0,1),lox0>lox0;

p3:∀x∈(0,+∞),()x>lox;

p4:∀x∈(0,),()x<lox.

其中的真命题是　　　　.

8.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件:

①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;

②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,则m的取值范围是　　　　.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假.

(1)∀x∈(-1,2),x2-x<2.

(2)∃x0∈{x|x>1},log2x0+lo2<2.

(3)指数函数都是单调函数.

(4)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.

10.(1)设集合S={直线},p(x):与圆x2+y2=4相切,试用不同的表述方式写出全称命题:“∀l∈S,p(x)”.

(2)设q(x):x2>x,试用不同的表述方式写出特称命题:“存在x0∈R,q(x0)”.

11.(能力挑战题)若命题“任意x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,求实数a的取值范围.

答案解析

1.【解析】选D.每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题;存在一条直线与两个相交平面都垂直,是特称命题,且是假命题;存在一个实数x0,使-3x0+6<0是特称命题,且是假命题;对任意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,则a≤b,是全称命题,且是真命题.

2.【解析】选C.由于0<x<1时,x2<x,故∀x∈R,x2≥x,是假命题;∃x0∈R,≥x0是真命题;命题“若x=1,则x2=1”的逆命题是假命题;命题“若x≠y,则sinx≠siny”的逆否命题是“若sinx=siny,则x=y”,是假命题.

3.【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题.

命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题,即对于∀x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,得m<(2x2-x)min=1;

命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,则∃x0∈[1,2],-m<log2x0,只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.综上所述,-1<m<1.

4.【解析】选C.命题①②为真命题;③由于an-bn=2n-3n=-n<0,

对于任意n∈N*,都有an<bn,即an≠bn,故为真命题.

④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},

例如n=1,2,3时,A∩B={6},故为假命题.

5.【解题指南】要判断全称命题正确,要进行严谨的证明;而要判断其错误,只要举一反例即可;相应地,要证明特称命题正确,只要举一正例即可;而判断其错误,要证明所有对象都在所给属性的对立面;同时要注意充分条件和必要条件的意义与判断方法.

【解析】选D.由于∀x∈R,ex>0恒成立,

所以∃x0∈R,≤0不正确;

当x=2时,2x=x2,所以∀x∈R,2x>x2不正确;

a+b=0中b可取0,而=-1中b不能取0,因此,两者不等价;a>1,b>1⇒ab>1,反之不能成立,所以a>1,b>1是ab>1的充分条件.

6.【解析】依题意,得即

∴a<-1.

答案:(-∞,-1)

【变式备选】若“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.

【解析】由于“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域,即(0,+∞).

答案:(0,+∞)

7.【解题指南】解答本题的关键是利用好幂函数、指数函数和对数函数的性质及指数函数和对数函数的图象.

【解析】因为α>0,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数,所以命题p1是假命题;因为对数函数y=logax(0<a<1)是减函数,所以当x∈(0,1),0<logx<logx,所以0<<,即lox>lox,所以命题p2是真命题;因为函数y=()x在(0,+∞)上有0<y<1,函数y=lox在(0,1]上有y≥0,在(1,+∞)上有y<0,所以命题p3是假命题;因为函数y=()x在(0,)上有0<y<1,而函数y=lox在(0,)上有y>1,所以命题p4是真命题.

答案:p2,p4

【一题多解】本题也可以利用函数的图象求解,解法如下

由图象可知命题p2、p4为真命题.

8.【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系,结合条件对参数进行分类讨论,然后求交集即可.

【解析】由g(x)=2x-2<0,可得x<1,当x≥1时,g(x)<0不成立,满足条件①时,要使∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立,

当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即解得m∈(-4,0).

满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使∃x∈(-∞,-4)时,f(x)g(x)<0,只要∃x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得m>1与m∈(-1,0)的交集为空集;当m=-1时,两根为-2,-2>-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只要-4>2m,所以m∈(-4,-2).

综上所述,m∈(-4,-2)为所求.

答案:(-4,-2)

9.【解析】(1)全称命题.由于x2-x<2⇔x2-x-2<0

⇔-1<x<2,所以∀x∈(-1,2),x2-x<2成立.真命题.

(2)特称命题.当x0∈{x|x>1}时,log2x0>0,

故log2x0+lo2=log2x0+≥2,当且仅当x0=2时,(log2x0+lo2)min=2,

所以不存在x0∈{x|x>1},使log2x0+lo2<2成立.假命题.

(3)全称命题.当a>1时,指数函数f(x)=ax为增函数,当0<a<1时,指数函数f(x)=ax为减函数,所以指数函数都是单调函数.真命题.

(4)特称命题.例如,10既能被2整除,又能被5整除.真命题.

10.【解析】(1)可以有以下几种不同的表述:

①对所有的直线l,都与圆x2+y2=4相切;

②任意的直线l,都与圆x2+y2=4相切;

③每一条直线l,都与圆x2+y2=4相切;

④凡是直线l,都与圆x2+y2=4相切;

(2)可以有以下几种不同的表述:

①存在实数x0,使得>x0成立;

②至少有一个实数x0,使得>x0成立;

③对有些实数x0,使得>x0成立.

11.【解析】方法一:由题意,任意x∈[-1,+∞),令f(x)= x2-2ax+2,

则f(x)≥a恒成立,只需要f(x)min≥a成立.

任意x∈[-1,+∞),

f(x)min=

由f(x)min≥a,解得a∈[-3,1].

方法二:x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0.

令f(x)= x2-2ax+2-a,所以全称命题转化为任意

x∈[-1,+∞),f(x)≥0恒成立,

所以Δ≤0或

即-2≤a≤1或-3≤a<-2,所以-3≤a≤1.

综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].

【拓展提升】巧用全称命题求解参数范围

如果一个全称命题为真命题,那么该命题中所涉及的每一个元素都具有某些性质,因此可以利用这一结论求解相关的问题.例如,可以利用全称命题为真,研究含参数不等式的问题,由全称命题的性质可以把含有参数的不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解.