精品解析：2020年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试题（解析版+原卷版）

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2020年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷
一．选择题（共12小题）
1. 下列运算一定正确的是（ ）.
A. ； B. ； C. ； D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同类项的合并、幂的运算法则、平方差公式判断.
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算法则及乘法公式，熟练运用整式的法则和公式是解题的关键.
2. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：直线，
，
，，，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握.
3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有个小立方体，第二层最少有个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个．
故选B．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形
4. 若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（　　）
A. 12 B. 10 C. 4 D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解.
【详解】解：方程的两个实数根为，
，，
；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
5. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）

A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的边长是2，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB度数为（　　）

A. 60° B. 75° C. 70° D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．
故选：D．

【点睛】此题考查切线的性质，圆周角定理，解题关键在于掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
7. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，给出下列结论：①AC⊥CD；②∠CAD＝30°；③OB⊥AC；④CD＝2OP．其中正确的个数为（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直径所对的圆周角是直角判断①，利用四边形OBCD是平行四边形证明是等边三角形，可判断②，利用平行四边形与结论①，可判断③，利用中位线的性质可判断④．
【详解】∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD，故①正确；
如图，连接OC，

∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC＝OD，OB＝CD
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝OC＝BC＝OD＝CD，
∴△BOC与△COD均为等边三角形，
∴∠COD＝60°，∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝∠COB＝30°，故②正确；
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴OB∥CD，
∵AC⊥CD，
∴OB⊥AC，故③正确；
∵OB⊥AC，
∴CP＝AP，
又∵OA＝OD，
∴CD＝2OP，故④正确．
综上，正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据E为BC的中点，可得，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形性质，证△BAE≌△ADF（SAS），得∠ABE＝∠DAF，证∠BGF＝90°，根据直角三角形性质得GH＝BF，由勾股定理可得BF＝＝.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，
∴CF＝3，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝，
故选：C．

【点睛】考核知识点：正方形性质，勾股定理.熟记正方形性质和利用勾股定理解决问题是关键.
10. 已知点A（﹣2，m），B（2，m），C（4，m+12）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A. y＝x B. y＝﹣ C. y＝x2 D. y＝﹣x2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象的对称性进行分析即可.
【详解】∵A（﹣2，m），B（2，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵m+12＞m，y＝ax2的图象关于y轴对称
由B（2，m），C（4，m+12）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴C选项正确，
故选：C．
【点睛】考核知识点：正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象.理解正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象的对称性是关键.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作轴于，延长交轴于，根据平行四边形性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【详解】如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
，
根据系数的几何意义，，，
四边形的面积，
故选C．

【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线
12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
二．填空题（共6小题）
13. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
故答案为（ab-1）（a+b）
【点睛】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为 ，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】
先求出点A的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.
【详解】∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，
如图所示，将先绕点逆时针旋转90°，
则点的坐标为，
再向左平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，
故答案为．

【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.
15. 定义：a*b=，则方程2*(x+3)=1*(2x)的解为____．
【答案】x=1．
【解析】
【分析】
根据新定义运算得到分式方程，故可求解．
【详解】2*(x+3)=1*(2x)，
=，
4x=x+3，
x=1，
经检验：x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据题意得到分式方程．
16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由圆周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可.
【详解】连接，
∵，
∴是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
∵，
∴，，即圆的半径为2，
∴．
故答案为．

【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
18. 如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
【详解】为矩形，

又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点睛】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
三．解答题（共7小题）
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】原式＝

=，
当时，
原式.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： ）．

【答案】安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【解析】
【分析】
过B作于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】过点B作于点G，延长EC、GB交于点F，

∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
21. “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【解析】
【分析】
(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为1020；
(4)由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
22. .已知：在矩形中，是对角线，于点，于点；

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的.
【答案】（1）详见解析；（2）的面积的面积的面积的面积矩形面积的．
【解析】
【分析】
（1）结合矩形的性质和已知条件可证，根据全等三角形对应边相等即知，此题得证；（2）可利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系..
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴， ，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的．
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的面积矩形的面积，
∵，
∴的面积矩形的面积；
作于，如图所示：
∵，
∴，
∴的面积矩形的面积，
同理：的面积矩形的面积．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形角的性质是解题的关键.
23. 如图，反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A（m，2m），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围．

【答案】（1）y=3x-1；（2）或x＞1．
【解析】
【分析】
（1）把A（m，2m）代入，求得A的坐标为（1，2），然后代入一次函数y=kx-1中即可得出其解析式；
（2）联立方程求得交点B的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．
【详解】（1）∵A(m，2m)在反比例函数图象上，∴，∴m=1，∴A(1，2)．
又∵A(1，2)在一次函数y=kx-1的图象上，∴2=k-1，即k=3，
∴一次函数表达式为：y=3x-1．
（2）由解得B(，-3)
∴由图象知满足的x取值范围为或x＞1．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
24. 如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点

（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求弦的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；
（3）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长．
【详解】（1）连，

∵，
∴，
又，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴，且过半径的外端点，
∴是的切线；
（2）在和中，，
，为公共边，
∴，
∴，又，
∴；
（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA=2，
∴AB=AD-BD=2-1=1，
设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，
解得：a=，
∴AC＝．
【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
25. 综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　 ．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）（，﹣5）；（3）点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为；（4）存在点N，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解；
（2）当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小；求出直线BC：y＝2x﹣6，可进一步求解；
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6），得EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝﹣（t﹣）2+，可得结果；
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．可分情况分析：若AC为菱形的边长，MN∥AC且，MN＝AC＝2；若AC为菱形的对角线，则AN4∥CM4，AN4＝CN4，N4（﹣2，n），由勾股定理可求n.
【详解】（1）∵OA＝2，OC＝6
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C
∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6
（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3
∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝
∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称
∴xD＝，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小
设直线BC解析式为y＝kx﹣6
∴3k﹣6＝0，解得：k＝2
∴直线BC：y＝2x﹣6
∴yD＝2×﹣6＝﹣5
∴D（，﹣5）
故答案为：（，﹣5）

（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）
∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t
∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+
∴当t＝时，△BCE面积最大
∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣
∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．

（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∴AC＝
①若AC为菱形的边长，如图3，
则MN∥AC且，MN＝AC＝2
∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）

②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4
设N4（﹣2，n）
∴﹣n＝
解得：n＝﹣
∴N4（﹣2，﹣）
综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．

【点睛】考核知识点：二次函数综合运用.数量运用二次函数性质，数形结合分析问题，分类讨论是关键.