【期末必备】第十一章 三角形(B·能力提升)-2021-2022学年八年级数学上学期单元测试卷+期末过关卷(人教版)

第十一章三角形 (B·能力提升)

一．选择题（共12小题）

1．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形

【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，

∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

故选：A．

2．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．

故选：D．

3．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（　　）

A．1根 B．2根 C．3根 D．4根

【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．

故选：B．

4．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（　　）

A．以上都可以 B．高 C．中线 D．角平分线

【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，

所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．

故选：C．

5．长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．11

【解答】解：8﹣3＜x＜8+3，

5＜x＜11，

只有选项C符合题意．

故选：C．

6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　　）

A．90° B．20° C．45° D．70°

【解答】解：∵∠BAC＝90°，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠BAD+∠B＝90°，

∴∠DAC＝∠B＝20°，

故选：B．

7．如图所示，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝（　　）

A．30° B．150° C．120° D．60°

【解答】解：∵∠1＝∠2＝150°，

∴∠ABC＝∠BAC＝180°﹣150°＝30°，

∴∠3＝∠ABC+∠BAC＝60°．

故选：D．

8．如图，在△ABC中，AB＝2021，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵AD为中线，

∴DB＝DC，

∴△ABD与△ACD的周长之差为：

（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2021﹣2018＝3，

故选：C．

9．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，

解得n＝12．

故多边形是12边形．

故选：C．

10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°

【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°

∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．

故选：C．

11．△ABC的两边是方程组的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：方程组的解为：，

∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为奇数，

∴2＜第三边长＜6，1

∴第三边长可以为：3，5．

∴这样的三角形有2个．

故选：B．

12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（　　）

A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45° 

C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A∠D

【解答】解：∵四边形的内角和＝360°，

∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D），

∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，

∴2∠EBC＝∠ABC，2∠ECB＝∠BCD，

∴∠EBC+∠ECB，

∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）

＝180°

，

故选：D．

二．填空题（共4小题）

13．如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝20°，则∠1＝　50　°．

【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，

∴∠1＝∠ABC﹣∠D＝50°﹣20°＝50°．

故答案为：50．

14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝　60°　．

【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP，

又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，

∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°，

∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，

故答案为60°．

15．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠AFD的度数为　70°　．

【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝110°，

由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，

∵DE∥AB，

∴∠BAE＝∠E＝30°，

∴∠CAD＝40°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，

∴∠AFD＝110°﹣40°＝70°，

故答案为：70°．

16．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝　2　．

【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，

∴AD＝DB，AF＝CF，

∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，

∴设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝四边形ADGF的面积，

∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1，

∴四边形ADGF的面积，

∴S1+S2＝2，

故答案为：2

三．解答题（共9小题）

17．已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？

【解答】解：设这个多边形为n边形，

n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，

n边形的外角和为：360°，

根据题意得：

（n﹣2）×180°＝3×360°，

解得：n＝8，

答：这个多边形是八边形．

18．如图，∠ABC＝∠FEC＝∠ADC＝90°．

（1）在△ABC中，BC边上的高是　线段AB　；

（2）在△AEC中，AE边上的高是　线段CD　；

（3）若AB＝2.4cm，CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．

【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是线段AB；

故答案为线段AB；

（2）在△AEC中，AE边上的高是线段CD；

故答案为线段CD；

（3）∵S△AECAE×CDCE×AB，

∴CE2.5（cm）．

19．如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求（1）∠ACD的度数；（2）∠AEF的度数．

【解答】解：（1）∵DF⊥AB，

∴∠B＝90°﹣∠D＝48°，

∵∠ACD是△ABC的一个外角，

∴∠ACD＝∠A+∠B＝83°；

（2）∵DF⊥AB，

∴∠AFD＝90°，

∴∠AEF＝90°﹣∠A＝55°．

20．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组求此等腰三角形的周长．

【解答】解：解方程组组得，

所以，等腰三角形的两边长为3，4．

若腰长为3，底边长为4，由3+3＝6＞4知，三角形的周长为10．

若腰长为4，底边长为3，则三角形的周长为11．

所以，这个等腰三角形的周长为10或11．

21．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由．

【解答】解：延长CD交AB于点E，

∵∠BEC是△ACE的一个外角，

∴∠BEC＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，

同理，∠BDC＝∠BEC+∠B＝111°+32°＝143°，

而检验工人量得∠BDC＝149°，

所以零件不合格．

22．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点O处．

（1）∠AOD　＝　∠BOC；（填“＞”“＜”“＝”）

（2）若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由；

（3）在图2中，已知∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，当a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项时，求∠BOD的度数．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC．

故答案为：＝；

（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝180°．

故∠AOC和∠BOD在数量上的关系为：∠AOC+∠BOD＝180°；

（3）∵a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项，

∴，

解得，

∵∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，

11﹣2＝9，

∴∠BOC＝90°20°，

∴∠BOD＝90°﹣20°＝70°．

故∠BOD的度数是70°．

23．问题1

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．

研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　∠1＝2∠A　

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　∠1+∠2＝2∠A　

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

问题2

研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°　．

【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：

由折叠得：∠A＝∠DA′A，

∵∠1＝∠A+∠DA′A，

∴∠1＝2∠A；

故答案为：∠1＝2∠A；

（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：

由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，

∵∠ADB+∠AEC＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，

∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；

故答案为：∠1+∠2＝2∠A；

（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：

∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，

∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，

∵∠A＝∠A′，

∴∠2＝2∠A+∠1，

∴∠2﹣∠1＝2∠A；

（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，

∵∠DNA+∠BMC＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，

∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，

∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，

故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．

24．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．

（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；

（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴∠BAC＝80°，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°，

∵AE是△ABC的高，

∴∠AEC＝90°，

∵∠C＝60°，

∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；

（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAD∠BAC，

∵AE是△ABC的高，

∴∠AEC＝90°，

∴∠CAE＝90°﹣∠C，

∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B，

即∠DAE∠C∠B；

（3）不变，

理由：连接BC交AD于F，

过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，

∴∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），

同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），

∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，

∴∠MAD＝∠ADN，

∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN（∠ACB﹣∠ABC）（∠BCD﹣∠CBD）（∠ACD﹣∠ABD）．