中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第22讲 平面基础知识（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点二十二：平面几何基础

聚焦考点☆温习理解

一、直线、射线和线段

 1、直线的概念

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

2、射线的概念

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

3、线段的概念

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

4、直线的性质

(1)直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

(2)过一点的直线有无数条。

(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

(4)直线上有无穷多个点。学！科网

(5)两条不同的直线至多有一个公共点。

5、线段的性质

(1)线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

(2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、相交线

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交(或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。学+科网

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

三、平行线

    1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

四、命题、定理、证明

    1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、直线、射线、线段

【例1】(2017贵州黔南州)如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是(　　)

A. 两点之间，线段最短    B. 两点确定一条直线

C. 垂线段最短    D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行

【举一反三】

(广东省广州市白云区2017届九年级下学期第一次模拟)下列各种图形中，可以比较大小的是()

A. 两条射线    B. 两条直线    C. 直线与射线    D. 两条线段

考点典例二、线段的计算

【例2】(2019·贵州贵阳·3分)数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是(　　)

A．3 B．4.5 C．6 D．18

【举一反三】

(重庆市江津区2017-2018学年六校联考)已知线段AB=8cm，在直线AB上截取线段AC=2cm，则线段BC=_________cm.

考点典例三、平行线

【例3】(2019•海南•3分)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为(　　)

A．20° B．35° C．40° D．70°

【举一反三】

如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为(   )

A.     B.     C.     D.

12．如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是(　　)

A. ∠2    B. ∠3    C. ∠4    D. ∠5

点睛：本题考查了同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解．

考点典例四、命题与定理

【例4】(2019•湖南岳阳•3分)下列命题是假命题的是(　　)

A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 

B．同角(或等角)的余角相等 

C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 

D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分

【举一反三】

(2018广西百色中考模拟)下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，基中假命题的有                  (填序号)．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于(     )

A.3        B.2         C.3或5         D.2或6

2. (2019•湖州)已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是(　　)

A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′

3. 如图，直线，直线与直线，分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为(   )

A.     B.     C.     D.

4. (2017福建宁德)如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是(　　)

A. BM=AB    B. AM+BM=AB    C. AM=BM    D. AB=2AM

5. (2017-2018苏科版南京栖霞区月考)给出下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点．其中正确的个数是    (    )

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

6. (浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校2017-2018学年月考)下列语句中，是命题的是(     )

A. 作线段AB的中垂线    B. 作的平分线

C. 直角三角形的两锐角互余    D. 与相等吗？

7. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于(　　)

A. 112°    B. 110°    C. 108°    D. 106°

8. (江苏省无锡市前洲中学2017-2018学年月考)已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是(　　)

A. AC=BC    B. AB=2AC    C. AC+BC=AB    D. BC=AB

9. (2019•甘肃•3分)如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是(　　)

A．48° B．78° C．92° D．102°

【答案】D

【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，

∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．

故选：D．

10(2017-2018学年陕西安市爱知初级中学九年级(上)期末数学试卷)如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上)，设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是(　　)

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

11. (2019▪贵州毕节)如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是

A．线段CA的长度  B．线段CM的长度

C．线段CD的长度  D．线段CB的长度

二．填空题

12. (2018•宜宾模拟)如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=　45°　．

14. (2018湖南株洲中考模拟)命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：      ．

15. (2018内蒙古呼和浩特一模)下面三个命题：

①若是方程组的解，则或；

②函数通过配方可化为；

③最小角等于的三角形是锐角三角形．

其中正确命题的序号为          ．

16. (2019•湖南湘西州)如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=40°，则∠3的度数为

A．40° B．90° C．50° D．100°

17. 将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．

18. (山东省潍坊高新技术产业开发区2017-2018学年期末)如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走第________ 条路，其中的道理是________ ．

19. (甘肃省武威市民勤实验中学2017-2018学年期末)已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是____________.

20. (广州市从化区从化七中2018学年度期末)如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．