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    中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第26讲 三角形(原卷版)学案
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    中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第26讲 三角形(原卷版)学案

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    这是一份中考数学《一轮专题讲义》(41专题)第26讲 三角形(原卷版)学案,共14页。学案主要包含了三角形,全等三角形,等腰三角形,相似三角形,位似三角形等内容,欢迎下载使用。

    中考数学一轮复习讲义

    考点二十六:三角形 

    聚焦考点温习理解

    一、三角形

    1、三角形中的主要线段

    (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

    (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

    (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)

    2、三角形的三边关系定理及推论

    (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。

    推论:三角形的两边之差小于第三边。

    (2)三角形三边关系定理及推论的作用:

    判断三条已知线段能否组成三角形

    当已知两边时,可确定第三边的范围。

    证明线段不等关系。

    3、三角形的内角和定理及推论

    三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°

    推论:

    直角三角形的两个锐角互余。

    三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

    三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

    注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。

    二、全等三角形

    1、三角形全等的判定

    三角形全等的判定定理:

    (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成边角边“SAS”)

    (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成角边角“ASA”)

    (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成边边边“SSS”)

    直角三角形全等的判定:

    对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成斜边、直角边“HL”)

    2.全等三角形的性质:

    三、等腰三角形

    1、等腰三角形的性质定理及推论:

    定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)

    推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。学+科网

    推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°

    2、等腰三角形的判定定理及推论:

    定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

    推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

    推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

    推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

    3、三角形中的中位线

    连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

    三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

     

    名师点睛典例分类

    考点典例一、三角形的性质

    【例1(2019•湖北省荆门市3)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是

    (  )

    A95° B100° C105° D110°

     

     

    【例2已知:如图,ABC是任意一个三角形,求证:∠A+B+C=180°

     

    【举一反三】

    1. (2018年山东省滨州市初中学业水平考试数学样题)如图,直线l1l2,且分别与ABC的两边ABAC相交,若A=45°1=65°,则2的度数为 (    )

    A. 45°    B. 65°    C. 70°    D. 110°

     

    2. (安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图,ABC中,DAB的中点,DEBC,连接BE.若AE=6DE=5BEC=90°,则BCE的周长是(   )

    A. 12    B. 24    C. 36    D. 48

     

    考点典例二、等腰三角形

    【例3(2018湖北黄冈教育网A)如图,在中,,以的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(   )

    A4         B5       C6        D7

     

    【举一反三】

    1. (2018江西中考模拟)已知ABC的三边长分别为446,在ABC所在平面内画一条直线,将ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(  )条.

    A3 B4 C5 D6

     

     

    2. (北京首都师范大学第二附属中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题)已知一个等腰三角形的两边长分别是,则该等腰三角形的周长为(    )

    A.     B.     C.     D.

     

    考点典例三、全等三角形

    【例4(2019•贵州省安顺市3)如图,点BFCE在一条直线上,ABEDACFD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(  )

    A.∠A=∠D BACDF CABED DBFEC

     

    【举一反三】

    如图,点分别在线段上,相交于点,已知,现添加以下哪个条件仍不能判定(   )

    A.     B.     C.     D.

     

    考点典例四、相似三角形

    【例5(2019•海南省)如图,在RtABC中,C90°AB5BC4.点P是边AC上一动点,过点PPQABBC于点QD为线段PQ的中点,当BD平分ABC时,AP的长度为(  )

    A. B C D

     

     

    【举一反三】

    (2018黑龙江中考模拟)如图,在中,分别为边上的点,,点边上一点,连接于点,则下列结论中一定正确的是(    )

    A.    B.    C.    D.

     

    考点典例五、位似三角形

    【例6(2019•本溪)在平面直角坐标系中,点AB的坐标分别是A(42)B(50),以点O为位似中心,相似比为,把ABO缩小,得到A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为__________

     

    【举一反三】

    (2018甘肃兰州中考模拟)如图,四边形与四边形相似,位似中心点是,则       .

     

    考点典例六:直角三角形

    【例7(2019•湖北省鄂州市3)如图,已知线段AB4OAB的中点,直线l经过点O160°P点是直线l上一点,当APB为直角三角形时,则BP  

     

     

    【例8(2019浙江丽水8)如图,在7×6的方格中,ABC的顶点均在格点上.试按要求画出线段EF(EF均为格点),各画出一条即可.

     

    【举一反三】

    1.中,平分平分相交于点,且,则__________

     

     

    2. 如图,在边长为4的等边中,分别为的中点,于点的中点,连接,则的长为__________

     

    课时作业能力提升

    一、选择题

    1. (2019徐州)下列长度的三条线段,能组成三角形的是

    A B12
    C D

     

    2. (2018甘肃中考模拟)如图,ACD=120°B=20°,则A的度数是(  )

    A120° B90° C100° D30°

     

    3. (2019河南)如图,在四边形ABCD中,ADBCD=90°AD=4BC=3.分别以点AC为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BEAD于点F,交AC于点O.若点OAC的中点,则CD的长为

    A2    B4    C3    D

     

    4. 如图,已知在ABC中,∠BAC90°,点DBC的中点,点EAC上,将CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是(  )

    A. AE=EF    B. AB=2DE

    C. ADFADE的面积相等    D. ADEFDE的面积相等

     

    5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3b=4,则该矩形的面积为(    )

    A. 20    B. 24    C.     D.

     

     

     

     

    6. (2019南通)如图,ABC中,AB=BCABC=90°FAB延长线上一点,点EBC上,且AE=CF,若BAE=25°,则ACF=__________度.

     

    二、填空题

    7. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中,BC=6AC=A=30°,则AB的长是________________.

     

     

    8. 如图,ABC的两条高ADBE相交于点F,请添加一个条件,使得ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是_____

     

     

    9. (2019威海)如图,在四边形中,,连接.若,则__________

     

    10. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图,矩形ABCD中,tanBAC=,点EAB上,点FCD上,点GH在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,且EHBC,则AGGHHC=_______

     

     

    11. (浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)如图,在ABC中,ABCACB的平分线相交于点O,过点OEFBCABE,交ACF,过点OODACD.下列三个结论:

    ①∠BOC=90°+AODmAEAFn,则SAEFmnEFABC的中位线.其中正确的结论是________

     

     

    三.解答题

    12. (吉林省长春市2018-7-2018学年度下学期名校调研系列卷——九年级数学综合测试(市命题))如图,点在同一直线上, ,连结,且,求证.

     

    13. (2018江苏扬州中考模拟)如图,已知,垂足为,将线段绕点按逆时针方向旋转,得到线段,连接.学!科网

    (1)线段       

    (2)求线段的长度.

     

     

    14. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图,等边ABC中,点PABC内,点QABC外,且ABP=ACQBP=CQ

    (1)求证:ABPACQ.

    (2)判断APQ的形状,并说明理由.

     

     

     

    15. (2018年湖北省武汉市晒湖中学数学中考模拟试题())(1)操究发现:如图1ABC为等边三角形,点DAB边上的一点,DCE=30°DCF=60°CF=CD.

    EAF的度数;

    DEEF相等吗?请说明理由

    (2)类比探究:如图2ABC为等腰直角三角形,ACB=90°,点DAB边上的一点,DCE=45°CF=CDCFCD,请直接写出下列结果:

    ①∠EAF的度数

    线段AEEDDB之间的数量关系

     

     

     

     

    16. (1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外侧分别以ABAC为腰作了两个等腰直角三角形ABDACE,分别取BDCEBC的中点MNG,连接GMGN.小明发现了:线段GMGN的数量关系是__________;位置关系是__________

    (2)类比思考:

    如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.

    (3)深入研究:

    如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABDACE,其它条件不变,试判断GMN的形状,并给与证明.

     

     

     

     

     

     

     

    17. 如图1RtABCACB=90°,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点MBD中点,CM的延长线交AB于点F.

    (1)求证CM=EM

    (2)若∠BAC=50°求∠EMF的大小;

    (3)如图2DAE≌△CEMNCM的中点求证ANEM.

     

    18. (2019黄石)如图,在中,为边上的点,且为线段的中点,过点,过点,且相交于点

    (1)求证:

    (2)求证:

     

     

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