中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第26讲 三角形（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点二十六：三角形 

聚焦考点☆温习理解

一、三角形

1、三角形中的主要线段

(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

2、三角形的三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形

1、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)

(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)

(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

2.全等三角形的性质：

三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。学+科网

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、三角形的性质

【例1】(2019•湖北省荆门市•3分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是

(　　)

A．95° B．100° C．105° D．110°

【例2】已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

【举一反三】

1. (2018年山东省滨州市初中学业水平考试数学样题)如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为 (    )

A. 45°    B. 65°    C. 70°    D. 110°

2. (安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是(　 　)

A. 12    B. 24    C. 36    D. 48

考点典例二、等腰三角形

【例3】(2018湖北黄冈教育网A卷)如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(   )

A．4         B．5       C． 6        D．7

【举一反三】

1. (2018江西中考模拟)已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(  )条．

A．3 B．4 C．5 D．6

2. (北京首都师范大学第二附属中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题)已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则该等腰三角形的周长为(    )．

A.     B.     C. 或    D. 或

考点典例三、全等三角形

【例4】(2019•贵州省安顺市•3分)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

【举一反三】

如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下哪个条件仍不能判定(   )

A.     B.     C.     D.

考点典例四、相似三角形

【例5】(2019•海南省)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为(　　)

A. B． C． D．

【举一反三】

(2018黑龙江中考模拟)如图，在中，分别为边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是(    )

A.    B.    C.    D.

考点典例五、位似三角形

【例6】(2019•本溪)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．

【举一反三】

(2018甘肃兰州中考模拟)如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则       .

考点典例六：直角三角形

【例7】(2019•湖北省鄂州市•3分)如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　．

【例8】(2019浙江丽水8分)如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可．

【举一反三】

1. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．

2. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．

课时作业☆能力提升

一、选择题

1. (2019•徐州)下列长度的三条线段，能组成三角形的是

A．，， B．，，12
C．，， D．，，

2. (2018甘肃中考模拟)如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是(　　)

A．120° B．90° C．100° D．30°

3. (2019•河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为

A．2    B．4    C．3    D．

4. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是(　　)

A. AE=EF    B. AB=2DE

C. △ADF和△ADE的面积相等    D. △ADE和△FDE的面积相等

5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为(    )

A. 20    B. 24    C.     D.

6. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

二、填空题

7. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中，BC=6，AC=， A=30°，则AB的长是________________.

8. ．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____．

9. (2019•威海)如图，在四边形中，，连接，．若，，，则__________．

10. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=_______．

11. (浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：

①∠BOC=90°+∠A；②设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；③EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是________．

三．解答题

12. (吉林省长春市2018-7-2018学年度下学期名校调研系列卷——九年级数学综合测试(市命题))如图，点、、、在同一直线上， ⊥， ⊥，连结、，且＝， ＝，求证＝.

13. (2018江苏扬州中考模拟)如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接.学！科网

(1)线段        ；

(2)求线段的长度.

14. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

(1)求证：△ABP≌△ACQ.

(2)判断△APQ的形状，并说明理由．

15. ．(2018年湖北省武汉市晒湖中学数学中考模拟试题(一))(1)操究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD.

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由

(2)类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：

①∠EAF的度数

②线段AE，ED，DB之间的数量关系

16. (1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．

(2)类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

(3)深入研究：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

17. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.

(1)求证：CM=EM；

(2)若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

(3)如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

18. (2019•黄石)如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点．

(1)求证：；

(2)求证：．