《空间向量基本定理》教案3（北师大版选修2-1）

课题  空间向量基本定理（ space  vector  theorem）郭俊芳 一、            教学目标(teaching  objective)：1．知识目标(knowledge  objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。2．能力目标(capability  objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3．情感目标(emotion  objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。二、教学难点(teaching  difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。三、教学重点(teaching  focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。四、教学手段(teaching  method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。五、教学过程（teaching  procession）1．引入（intruduce）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。2．推广（extend）:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，=，=，=是空间任一向量，过P作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面向量的基本定理知向量与、共面，则= x+y，所以，存在x,y,z使得= x+y+ z。这样的实数x,y,z是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即(x－x1) +(y－y1) +(z－z1) =又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。老师介绍相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当\y=0, z=0时，与共线.说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论： 平面向量中成立的结论空间向量中成立的结论(学生回答)向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ（用来证明空间向量共线或直线平行）同一平面的任意两个向量都共面向量、是空间不共线的两个向量，则向量与向量、共面存在唯一实数x,y使得= x+y（用来证明空间向量共面）若=，=，则+=，是平行四边形的对角线   若=，=，=，则++是平行六面体的体对角线向量、不共线，则P在AB上存在实数λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1（用来证明三点共线）   向量、、不共线，则P在平面ABC内存在实数λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1（用来证明四点共面）  4．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。解：（1）由P是CA1的中点，得=（+）=（++）=（++）（2）=+=+=（+）++=++法2：=+=++=++（3）=+=+=+（+）=+=(+)+例2．在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。解：由例1得：=(+)+，=+=+=（+）+则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[(+)+]又=+，设=μ=μ（+）则λ[(+)+]=μ（+）+，即λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。请学生板演平面几何证法：易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，所以=5．练习(exercises)已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行－3=6－2+6－6－3＝6－5－2=2+－2+4－6=－6+5－3与－2共线但反向。思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。7．作业(homework)： w.w.w.g.k.x.x.c.o.m www.gkxx.com