高中数学湘教版必修23.1弧度制与任意角教案

第一课时 三角函数的图象和性质

三角函数的周期性

 [教学目标]

一、知识与技能

了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法

从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

三、情感、态度与价值观

培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

[教学重点]

周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

[教学难点]

周期函数的概念

[设计思路]

创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。

在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。

在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。

[教学过程]

一、创设情境

每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

二、学生活动

（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：

A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……

显然点P的运动是周期运动。

设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为 y=f(t).

则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A点）

f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C点）

一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)

想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。

[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同]

可以用描点法画出这个函数的图象（如图）

它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。

我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。

三、建构数学

一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)=              f(x)。

（一）、周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=              f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……

（二）、最小正周期的概念.

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.

注意

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.

(三)、三角函数的周期

思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sinx成立？

[sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）]

用几何画板展示周期函数y=sinx的图象，使学生感知其特征。

讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。  [周期分别是2π、π]

四、数学运用

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。

（1）          求该函数的周期；

（2）          求t=10s时钟摆的高度。

分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；

根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20.

解：(略)

例2  求函数f(x)=cos3x的周期。

解：设周期为T.  f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T)

由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3.

   ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.

注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。

例3．求下列函数的最小正周期T.

（1）

（2）

（3）

解：（1）

   （2） 

∴ 函数的最小正周期为π.

   （3）

       ∴ 函数的最小正周期为4π.

总结一般规律：的最小正周期是.

令        ，由的周期是，

则       

因而自变量只要并且至少要增加到，即。

例4．求证：（1）的周期为π；

          （2）

证明：（1）

    （2）

        ∴

总结：（1）一般函数周期的定义

     （2）周期求法

尝试练习

(1)求g(x)=2sin()的周期。

(2)证明函数（其中为常数，且）的周期.

结论:一般的，周期函数y=Asin(ωx+ )及y=Acos(ωx+ )(其中A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T=      .

五、回顾反思

通过这节课的学习，你有哪些收获？ 

1.周期函数、周期概念。

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 

2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.

3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π.

4. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期的求法。

六、课外作业：

    1、举例说明周期现象。.

2.、课本

3、设m、p、q为自然数，m除以5所得的商是p且余数是q(q<5). 显然q是m的函数，记q=f(m).  (1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由。

七、设计说明：

1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。

比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。

   2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。

   3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在处理例2的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期T,从而降低了难度。

   4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维能力。

第二课时 三角函数的图象和性质

课型:新授课

课时计划:本课题共安排一课时

教学目标:

1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象

2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法，并会用此方法画出上的正弦曲线、余弦曲线

教学重点：

正、余弦函数的图象的画法

教学难点：

借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象

教学过程：

一、     创设情境，引入新课

为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象，那么该怎样作出正、余弦函数的图象？

二、     新课讲解

1、正弦函数图象的画法

先画正弦函数的图象。由于是以为周期的周期函数，故只要画出在上的图象，然后有周期性就可以得到整个图象。

（1）几何法：利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象

（注：如何作出函数图象上的一个点，如点？

不妨设，如图所示，在单位圆中设弧的长为，则。所以点是以弧的长为横坐标，正弦线的数量为纵坐标的点。）

作法步骤：将单位圆十二等份，相应地把轴上从0到这一段分成12等份。把角的正弦线向右平移使它的起点与轴上表示的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数在区间上的图象。

最后只要将函数， 的图象向左、右平移（每次个单位），就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。

（2）五点法：在函数的图象上，有5个关键点：，注意正弦曲线的走向，将这五点用光滑的曲线连接起来，可得函数的简图。

2、余弦函数图象的画法

（1）几何画法：利用余弦线来作出余弦函数的图象

（2）由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到

由 可知将的图象向左平移个单位几得到的图象。

（3）          五点法：在函数，的图象上，五个关键点为，利用此五点作出的简图。

三、例题剖析：

例1、用五点法画出下列函数的简图：

（1），             （2），

解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：

描点画图，然后由周期性得整个图象；

（图略）

（2）列表：

描点画图，然后由周期性得整个图象

（图略）

四、练习

1、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系：

（1）                  （2）

2、画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系：

（1）                     （2）

五、课堂小结：

1、正弦函数的几何画法；

2、五点法作图

第三课时 三角函数的图象与性质

课型：新授课

课时计划：本课题共安排一课时

教学目标：

1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；

2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；

3、能正确求出正、余弦函数的单调区间

教学重点：

正、余弦函数的性质

教学难点：

正、余弦函数的单调性

教学过程：

一、创设情境，引入新课

我们已经知道正、余弦函数都是周期函数，那它们除此之外还有哪些性质呢？

二、新课讲解

㈠知识要点：

1、定义域：

函数及的定义域都是，即实数集

2、值域：

函数，及，的值域都是

理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以，

，即，。

（2）函数在时，取最大值1，当，时，取最小值-1；函数在，时，取最大值1，当，时，取最小值-1。

3、周期性

正弦函数，和余弦函数，是周期函数，都是它们的周期，最小正周期是。

4、奇偶性

正弦函数，是奇函数，余弦函数，是偶函数。

理解：（1）由诱导公式，可知以上结论成立；

（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于轴对称。

5、单调性

（1）由正弦曲线可以看出：当由增大到时，曲线逐渐上升，由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：

①正弦函数在每一个闭区间上，都从-1增大到1，是增函数；

②在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

（2）由余弦曲线可以知道：

①余弦函数在每一个区间上，都从-1增大到1，是增函数；

②在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

练习：不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：

（1）与；    （2）与

㈡例题剖析

例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合：

（1）；                     （2）

例4、求函数的单调增区间。

㈢练习：

求函数的定义域；（2）求函数的值域；