高中数学沪教版高中一年级 第一学期2.5不等式的证明导学案
展开课题：不等式综合
教学任务
教 学 目 标 | 知识与技能目标 | 1.熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题 2在掌握一次函数单调性、二次函数的最值以及在定区间上的最值问题，学会变量的转换，掌握：恒正、恒负、解集为R、解集为空集的实际含义并且会转化 3掌握 “两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题 4能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题 5通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力． |
过程与方法目标 | 在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的 过程中，提高学生数学素质及创新意识． | |
情感,态度与价值观目标 | 数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 | |
重点 | 能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题 | |
难点 | 通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力 | |
教学过程设计
问题与情境 | 师生行为 | 设计意图 |
知识点归纳 1、不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明 2、不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答 |
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活动4归纳小结
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活动5巩固提高 | 附作业 | 巩固发展提高 |
课后作业
一、选择：
1、下列函数中，最小值为4的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
2、若x+2y=4,且x>0,y>0,则 lgx+lgy的最大值为（ C ）
（A）2 （B）2lg2（C）lg2（D）
3、设a,b为实数，且a+b=3,则2a+2b的最小值是（ B ）
（A）6（B）（C） （D）8
4、函数图象上最低点的坐标为（ B ）
（A）（0，5） (B) （3，4） (C) （3，2） (D) （8，）
5、若满足时，恒有，则可能是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
6、某工厂年产值第二年比第一年增长百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,第四年比第三年增长的百分率为p3,若p1+p2+p3=m,m为常数，则年平均增长率p的最大值为( B )
A B C D
7、设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合M和N，那么“”是“”的（ D ）条件
A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、即非充分又非必要
8、若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空：
9、设函数 ，则使得的自变量的取值范围为
10、①的最小值为 5
②如果__小___值___64___
11、已知函数满足对任意实数，有， 且，写出一满足这些条件的函数
12、若全集 均为x的二次函数，则不等式组的解集可用P、Q表示为
13、已知，当R时，恒为正值，则的取值范围是_________________________
14、函数的值域为，则的取值范围为__ a≥0
三、解答：
15、已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围。
答案：1<a<2
16、已知．若、, 试比较 与的大小，并加以证明．
答案：略
17、已知，求的范围
答案：
18、若的取值范围
答案：
19、若不等式对满足的所有a都成立，求x的取值范围
答案：
20、一轮船行驶时，单位时间的燃料费与其速度的立方成正比，若轮船的速度为每小时10 km 时，燃料费为每小时35元，其余费用不随速度而变化，每小时为560元，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少？ （20km/小时，42元/千米）
答案：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是:u=kv3,
由已知，v=10时，u=35,∴ 35=k103 k=7/200;
轮船行驶1千米的费用
y=u1/v+5601/v =
=7v2/200+560/v=7v2/200+280/v+280/v=42 (元)；
等号条件：7v2/200=280/v v=20(km/h)
21、已知函数
（1）求证：函数上是增函数
（2）若上恒成立，求实数a的取值范围
（3）若函数上的值域是，求实数a的取值范围
答案：（1）当用定义证明单调性
（2）上恒成立
设上恒成立
可证单调增 故的取值范围为
（3）的定义域为
当上单调增
故有两个不相等的正根m，n，
当时，可证上是减函数
综上所述，a的取值范围为
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