精品高中数学一轮专题-二项式系数的性质（讲）（带答案）学案

二项式系数的性质

学习目标　1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．

同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：

这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．

问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？

提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1.

知识点　二项式系数的性质

思考　若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？

答案　n＝7或8或9.

1．令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　√　)

2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．(　×　)

3．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　×　)

4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　×　)

一、二项展开式的系数和问题

例1　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；

(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；

(3)a1＋a3＋a5.

解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.

(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.

由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k，

知a1，a3，a5为负值，

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.

(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，

得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，

所以a1＋a3＋a5＝＝－121.

延伸探究

已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：

(1)a0＋a2＋a4；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.

解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.

所以a0＋a2＋a4＝＝122.

(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，

所以a0＝25＝32.

又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.

(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，

所以两边求导数得

10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.

令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.

反思感悟　二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

跟踪训练1　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.

(1)求a2的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；

(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．

解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，

令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.

(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.

(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，

令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.

(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.

二、二项式系数性质的应用

例2　已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，

∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.

(1)由于n＝5为奇数，

∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，

T4＝C()2·(3x2)3＝.

(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，假设Tk＋1项系数最大，则有

∴即∴≤k≤，

∵k∈N，∴k＝4，

∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝.

反思感悟　(1)二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．

跟踪训练2　已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．

解　∵的展开式的通项是Tk＋1＝C()n－k·k＝(－2)kC(0≤k≤n，k∈N)，

∴T5＝T4＋1＝24C，T3＝T2＋1＝22C.

∵＝，

∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1，则8＝(1－2)8＝1，

即所求各项系数的和为1.

(2)展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kC(0≤k≤8，k∈N)．

令＝，解得k＝1，

∴展开式中含的项为

T2＝T1＋1＝(－2)1C＝.

(3)展开式的第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数的绝对值分别为C2k－1，C2k，C2k＋1.

若第k＋1项的系数绝对值最大，

则有解得5≤k≤6，

故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，

即T6＝－1 792，T7＝1 792x－11.