精品高中数学一轮专题-二项式系数的性质（讲）学案

二项式系数的性质

学习目标　1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．

同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：

这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．

问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？

提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1.

知识点　二项式系数的性质

思考　若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？

答案　n＝7或8或9.

1．令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　 　)

2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．(　 　)

3．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　 　)

4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　 　)

一、二项展开式的系数和问题

例1　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；

(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；

(3)a1＋a3＋a5.

延伸探究

在本例条件下，求下列各式的值：

(1)a0＋a2＋a4；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.

反思感悟　二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

跟踪训练1　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.

(1)求a2的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；

(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．

二、二项式系数性质的应用

例2　已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

反思感悟　(1)二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．

跟踪训练2　已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．