高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.2 直线的方程当堂检测题

2.2 直线的方程（练习）

一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线的方向向量可以是

A．　  　    B．　    　  C．　  　    D．

【答案】D

【解析】（解法一）因为，可化为，所以直线的斜率为，

所以直线所有的方向向量为，其中是不为零的任意实数，

又，所以是直线的一个方向向量．故选D．

（解法二）由的一个方向向量为，

可知直线的一个方向向量为，

又，所以是直线的一个方向向量．故选D．

2．已知直线经过第一、第二、第四象限，则，，应满足

A．，  B．，   C．，   D．，

【答案】A

【解析】由于直线经过第一、二、四象限，

所以直线存在斜率，将方程变形为，

如图，易知且，故，．故选A．

3．已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程为

A．　  　  　  　   B．　

C．　  　  　  　   D．

【答案】C

【解析】因为直线的法向量为，可设直线的方程为．

又直线经过点，所以，即，

所以直线的方程为．故选C．

4．如图，直线和在同一坐标系中正确的图形可能为

    A                  B                   C                   D源:学

【答案】B

【解析】和可分别化为和．

当时，直线和的斜率都大于零，纵截距也都大于零，四个选项均不满足；

当时，直线和，有一条直线的斜率大于零，纵截距小于零，而另一条直线的斜率小于零，纵截距大于零，选项B满足；

当时，直线和的斜率都小于零，纵截距也都小于零，四个选项均不满足；

当时，直线和至少一条经过原点，四个选项均不满足．故选B．

5．直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为

A．　  　  　  　  　         B．　

C．或　            D．或

【答案】C

【解析】设直线的方程为:，因为直线过点，所以有．

因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以，即．

当时，有，故；

当时，有，故．

所以直线的方程为:或，即或．故选C．

6．已知直线：，：，若时，直线，

与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数

A．　  　    B．　    　  C．　  　    D．

【答案】B

【解析】直线可写成，直线可写成，所以直线，恒过定点，直线的纵截距为，直线的横截距为，又，

所以四边形的面积，

故当时，四边形的面积最小．故选B．

二、填空题

7．若直线过点和点，则该直线的方程为           ．

【答案】

【解析】（解法一）因为直线过点和点，所以直线的方程为，整理得；．

（解法二）因为直线过和点，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，整理得．

8．已知直线，当变化时，直线都通过定点           ．

【答案】

【解析】（解法一）当时，，可化为，

即，所以直线过定点．

又当时，，可化为，也过点．

综上所述，当变化时，直线都通过定点．

（解法二）可化为,

令，得，所以直线过定点．

9．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方

程为             ．

【答案】

【解析】设直线倾斜角为，直线的倾斜角为，则．

又因为直线的斜率为，即，

所以直线的斜率为．

又直线过点，所以其方程为：，即．

10．已知过点的直线在第二象限与两坐标轴围成一个三角形，当该三角形的面

积最小时直线的方程为             ．         

【答案】

【解析】显然，直线的斜率存在且大于零，设直线的方程为，，

令得，；令得，；

所以三角形的面积为，

当且仅当，即时取等．故三角形的面积的最小值为．

此时直线的方程为，即．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

11．已知直线过点．

（1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；

（2）若直线分别交轴的正半轴和轴的正半轴于、两点，当的面积为

时求直线的方程．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）设若直线在轴和轴上的截距分别为，

当时，直线过原点，斜率为，

所以直线的方程为，即；

当时，直线的方程为．又直线过点，所以．

因为，所以，故，．

所以直线的方程为，即；

综上，直线的方程为或．

（2）设直线的方程为，，

令得，；令得，；

因为直线与轴和轴交于正半轴，所以，，

所以的面积，解得．

所以直线的方程为，即．

12．过点作直线分别交轴的正半轴和轴的正半轴于、两点．

（1）求的最小值及此时直线的方程；

（2）求最小值及此时直线的方程．

【解析】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，

直线过点，，

又(当且仅当，即时取等号)，

，即，

的最小值为8，此时直线l的方程为；

（2）由（1）可知，，则，

(当且仅当，即时取等号)．

的最小值为4，此时直线的方程为．