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2021-2022学年七年级数学上学期期末基础巩固和培优模块之必刷解答题20道-期末练习卷（含解析）
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这是一份2021-2022学年七年级数学上学期期末基础巩固和培优模块之必刷解答题20道-期末练习卷（含解析），共30页。试卷主要包含了计算，化简，解方程，解答下列问题，先阅读下面文字，然后按要求解题等内容，欢迎下载使用。
期末基础巩固和培优模块之必刷解答题20道
1．（2021·湖北监利·七年级期末）计算：
（1） （2）
2．（2021·河南川汇·七年级期末）计算：
（1）；
（2）．
3．（2021·湖北监利·七年级期末）（1）化简：
（2）化简并求值：，其中：．
4．（2021·四川旌阳·七年级期末）（1）计算：
①
②
（2）化简：
（3）先化简，再求值：， 其中m ，n满足．
5．（2021·四川旌阳·七年级期末）解方程：
（1）
（2）
6．（2021·全国·七年级期末）2020年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机．”一时间，地摊兴起．小淘决定到甲、乙两个批发店采购同一种苹果到商场附近地摊经营．在甲批发店，不论一次购买数量多少，价格均为6元/kg；在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg，一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．
设小淘在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（）．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）请用含x的式子分别表示在甲批发店购买苹果的花费和在乙批发店购买苹果的花费．
（3）根据题意解决下列问题：
①若小淘在同一批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在哪个批发店购买花费少？
②若小淘在同一批发店一次购买苹果的花费为360元，则他在哪个批发店购买数量多？
7．（2021·河南·永城市教育体育局教研室七年级期末）解答下列问题：
（1）原题：如图①，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB = 4cm，求线段CD的长度；
（2）变式1：如图②，点D是线段AB的三等分点，点C是线段AD的中点． 若AB = 4cm，求线段CD的长度；
（3）变式2：已知点D是线段AB的三等分点，点C是线段BD的中点． 若AB = 4cm，求线段CD的长度．
8．（2021·四川旌阳·七年级期末）已知为直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图1，若，则 ；
（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在图3中，若，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
9．（2021·全国·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________秒（直接写出结果）
10．（2021·浙江杭州·七年级期末）先阅读下面文字，然后按要求解题．
例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．
（1）补全例题解题过程；_____=_____．
（2）计算：
（3）计算：．
11．（2021·广东潮阳·七年级期末）观察下列算式，解答问题：
（1）请猜想__________；
（2）请利用上题猜想结果，计算的值（要有计算过程）
12．（2021·广东海珠·七年级期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子的值．
13．（2021·全国·七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
14．（2021·浙江浙江·七年级期末）已知是关于x的方程的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？
15．（2021·全国·七年级期末）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
16．（2021·辽宁建昌·七年级期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是；点P表示的数是，点Q表示的数是．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
17．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
18．（2021·辽宁大连·七年级期末）如图1，在内部作射线，，在左侧，且．
（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．
19．（2021·陕西西乡·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
20．（2021·浙江东阳·七年级期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
参考答案
1．（1）12；（2）．
【分析】
（1）直接根据有理数的加减计算法则进行求解即可；
（2）先计算绝对值和乘方，然后根据有理数的混合计算法则进行求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题主要考查了有理数的加减计算，绝对值和含乘方的有理数混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
2．（1）-49；（2）
【分析】
（1）先算乘方，再计算括号内的，最后计算加减法；
（2）先算乘方，同时利用乘法分配律展开计算，再算括号内的，最后计算除法．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=-49；
（2）
=
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
3．（1）；（2），．
【分析】
（1）先去括号，然后根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
【点睛】
本题主要考查了整式的加减计算，去括号，整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
4．（1）①-3；②1；（2）；（3），-4
【分析】
（1）①把正数与负数分别相加，再把结果相加；②先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可；
（2）找出同类项，然后合并即可；
（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可化简；根据平方与绝对值非负的性质可求得m与n的值，并代入化简后的式子中即可求得代数式的值．
【详解】
（1）计算
①原式
② 原式
= 1
（2）原式
（3）原式
∵
∴
解得：
当时，
【点睛】
本题考查了有理数的运算、同类项合并，整式的加减运算中的化简求值，有理数的运算要注意运算顺序，且保证运算准确，整式的加减运算注意符号不要出错，使用乘法分配律时不要漏乘．
5．（1）；（2）
【分析】
（1）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元二次方程即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元二次方程即可；
【详解】
⑴
解：移项得
合并同类项得
系数化为1得
⑵
解：去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为1得
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）甲店花费：6x元．乙店：当时，花费7x元；当时，花费元．（3）①到乙店花费少；②在甲店购买的数量多．
【分析】
（1）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；6×40=240，6×150=900；而乙批发店花费：当一次购买数量不超过50kg时， 7×40=280元；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（150-50）=850元；
（2）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 ：在一次购买数量不超过50kg时，7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（x-50）；
（3）①求出在x=120时，分别求得在各店的花费，比较即可；
②利用（2）的结论，列方程求解即可．
【详解】
解：（1）甲批发店：6×40=240元，6×150=900元；
乙批发店：7×40=280元，7×50+5（150-50）=850元．
故填表如下：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
240
900
…
乙批发店花费/元
280
850
…
（2）甲店花费：6x元；
乙店：当时，花费7x元；
当时，花费元；
（3）①当时，
在甲店花费：（元），
在乙店花费：（元）．
∵720>700，
∴到乙店花费少；
②甲店：当时，，
乙店：当时，．
所以，在甲店购买的数量多．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（1）1cm；（2）cm；（3）cm或cm
【分析】
（1）根据已知条件得到，再根据点C是线段AD的中点，得到，即可得解；
（2）根据三等分点求出AD，再计算即可；；
（3）根据点D在靠近A点和靠近B点分别计算即可；
【详解】
（1）∵点D是线段AB的中点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段AD的中点，
∴；
（2）∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段AD的中点，
∴；
（3）当点D靠近A点时，
∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段BD的中点，
∴；
当点D靠近B点时，
∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段BD的中点，
∴；
∴线段CD的长度是cm或cm．
【点睛】
本题主要考查了与线段中点有关的计算，准确计算是解题的关键．
8．（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由见解析；（3）存在，16°
【分析】
（1）首先根据，是直角，求出∠EOF＝62°，然后根据平分求出∠AOE＝124°，最后根据平角的性质即可求出的度数；
（2）首先根据是直角，平分表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后根据平角的性质即可得到与之间的数量关系；
（3）首先根据是直角，平分求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然后代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；
（2）结论：∠BOE＝2∠COF；
理由如下：
∵∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；
（3）存在；
∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，
∠EOF＝25°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，
∴∠BOE＝130°，
∵2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD），
即2∠BOD+25°＝（130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．
【点睛】
此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分析图形中各角之间的关系．
9．（1）；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）30或12
【分析】
（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义求得，继而根据求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可.
【详解】
（1），
∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=120°÷2=60°，
，
∠CON=；
（2）∠AOM-∠NOC=30°，
理由如下：如图，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，∠CON=∠AOC=30°，
∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
故答案为：30或12．
【点睛】
本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用.
10．（1）50，5050；（2）2550；（3）
【分析】
（1）根据题干中的示例计算即可得解；
（2）根据两数之和为102，再乘以数字的个数即可得；
（3）将所有的a相加、所有含b的式子相加，含b的代数式利用以上求和方法求解可得．
【详解】
解：（1）
，
故答案为：50、5050；
（2）
；
（3）原式
．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握．
11．（1）；（2）1976
【分析】
（1）由等式可知，左边为连续奇数的和，右边为奇数个数的平方，由此可找到规律进行解答；
（2）根据题意得出原式=，进而求出即可．
【详解】
解：（1）从1到49，奇数个数为： 个，
∴；
（2）由题意得：
=
=
=
【点睛】
本题是一道找规律题目，要求学生通过观察、分析，归纳其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是找到式子的规律．
12．（1）1；（2）-2；（3）3．
【分析】
（1）将时，代入代数式即可求得；
（2）将，代入方程得到①，将时，代入代数式得到：②，②代入①即可求得；
（3）分别求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】
（1）将时，代入代数式，得：
，
解得；
（2）由题意，时，
即①
将时，代入代数式，得：
即②
将②代入①得：
解得
（3）将代入代数式，得：
，
由（1）可知①
代入，得：
又由（2）可知
即
两边乘以3，得：②
②-①得：③
将③代入代数式，得：
当时，，即，
时，
由题意，当时，
将代入，得：
【点睛】
本题考查了整式的加减，等式的性质，一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
13．（1）小时；（2）小时；（3）或小时
【分析】
（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；
（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；
（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．
【详解】
（1）甲在段所需时间为：小时，
甲在段所需时间为：小时，
甲在段所需时间为：小时，
所以甲从A到B地所需要的时间为小时．
答：甲从A到B地所需要的时间为小时．
（2）乙在段所需时间为：小时，
乙在段所需时间为：小时，
，甲在段所需时间为，
甲乙会在段相遇，
同时出发，则甲走了小时，走了千米，
甲乙相遇时间为小时．
答：两人出发后经过小时相遇．
（3）设甲，乙经过小时后，两人相距10千米，
①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲走的路程为：，乙走的路程为：，
，
解得：
②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲的路程为，乙的路程为，
，
解得：
甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
答：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出正确的方程．
14．（1）2；（2）1cm；（3）1秒或秒
【分析】
（1）把x=-3代入方程，即可求出k；
（2）先求出AC的长，再求出CD的长即可；
（3）设经过x秒时，有PD=3QD．分别表示出x秒时P与Q在数轴上表示的数，分两种情况进行讨论：①D在PQ之间；②Q在PD之间．
【详解】
解：（1）把x=-3代入方程（k+3）x+2=3x-2k得：-3（k+3）+2=-9-2k，
解得：k=2；
（2）当k=2时，BC=2AC，AB=6cm，
∴AC=2cm，BC=4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，
∴CD=AC=1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为-2，AD=CD=1，AB=6，
∴D点表示的数为-1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD=3QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是-2-2x，4-4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD=3QD，
∴-1-（-2-2x）=3[4-4x-（-1）]，
解得x=1；
②当点Q在PD之间时，
∵PD=3QD，
∴-1-（-2-2x）=3[-1-（4-4x）]，
解得x=，
答：当时间为1秒或秒时，有PD=3QD．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合分情况进行讨论是解此题的关键．也考查了一元一次方程的解，线段的中点等知识．
15．（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【分析】
（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °)
=m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °)
=180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
16．（1）8，3t，8＋t；（2） ；（3）2或6
【分析】
（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t则 ，，则求解即可；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，则，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，
∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t，
故答案为：8，3t，8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t
∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点，
∴， ，
∴，
∴；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，
∴，
解得t=2或6．
∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度．
【点睛】
本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，线段的中点问题，解题的关键在于能够准确找到线段之间的关系．
17．（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【分析】
（1）分别算出秒时转过的角度，用减去转过的角度即可；
（2）分两种情况进行讨论：相遇前以及相遇后，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别进行计算即可．
【详解】
（1）当时，，
∴．
（2），，
与相遇前，当时，
∵，
∴，
，
与相遇后，时，
，
∴不垂直，
当时，
，
∵，，
∴，
，
综上所述，当或60时，．
（3）当平分时，
，
∴，
，
当平分时，
，
，
，
，
当平分时，
，
，
（不合题意），
综上所述，当或时，
、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
【点睛】
本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
18．（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴ ，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（2）．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图1，当在的左侧时，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，
∴．
∴；
如图2，当在的右侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，．
综上所述，的度数为或．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．
19．（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解．
【详解】
解：（1）由题意得，
，
，
故答案为；
（2），，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
（3）①当在的内部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
；
②当在的外部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】
本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
20．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2)∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP= (∠MOP+∠NOP)=，∠BOP=∠BOM=30°，
∴∠AOP=90°-30°=60°
∴∠BOP=∠AOP
∴OP是∠AOB的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，
当OP在OB上方时，∠BOP=80°-12t ，∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴
解得：t=5；
当OP在OB下方时，∠BOP= 12t-80°， ∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴，
解得：t=
综上所述：运动时间为5秒或秒.
期末基础巩固和培优模块之必刷解答题20道
1．（2021·湖北监利·七年级期末）计算：
（1） （2）
2．（2021·河南川汇·七年级期末）计算：
（1）；
（2）．
3．（2021·湖北监利·七年级期末）（1）化简：
（2）化简并求值：，其中：．
4．（2021·四川旌阳·七年级期末）（1）计算：
①
②
（2）化简：
（3）先化简，再求值：， 其中m ，n满足．
5．（2021·四川旌阳·七年级期末）解方程：
（1）
（2）
6．（2021·全国·七年级期末）2020年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机．”一时间，地摊兴起．小淘决定到甲、乙两个批发店采购同一种苹果到商场附近地摊经营．在甲批发店，不论一次购买数量多少，价格均为6元/kg；在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg，一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．
设小淘在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（）．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）请用含x的式子分别表示在甲批发店购买苹果的花费和在乙批发店购买苹果的花费．
（3）根据题意解决下列问题：
①若小淘在同一批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在哪个批发店购买花费少？
②若小淘在同一批发店一次购买苹果的花费为360元，则他在哪个批发店购买数量多？
7．（2021·河南·永城市教育体育局教研室七年级期末）解答下列问题：
（1）原题：如图①，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB = 4cm，求线段CD的长度；
（2）变式1：如图②，点D是线段AB的三等分点，点C是线段AD的中点． 若AB = 4cm，求线段CD的长度；
（3）变式2：已知点D是线段AB的三等分点，点C是线段BD的中点． 若AB = 4cm，求线段CD的长度．
8．（2021·四川旌阳·七年级期末）已知为直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图1，若，则 ；
（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在图3中，若，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
9．（2021·全国·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________秒（直接写出结果）
10．（2021·浙江杭州·七年级期末）先阅读下面文字，然后按要求解题．
例：如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．
（1）补全例题解题过程；_____=_____．
（2）计算：
（3）计算：．
11．（2021·广东潮阳·七年级期末）观察下列算式，解答问题：
（1）请猜想__________；
（2）请利用上题猜想结果，计算的值（要有计算过程）
12．（2021·广东海珠·七年级期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子的值．
13．（2021·全国·七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
14．（2021·浙江浙江·七年级期末）已知是关于x的方程的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？
15．（2021·全国·七年级期末）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
16．（2021·辽宁建昌·七年级期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是；点P表示的数是，点Q表示的数是．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
17．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
18．（2021·辽宁大连·七年级期末）如图1，在内部作射线，，在左侧，且．
（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．
19．（2021·陕西西乡·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
20．（2021·浙江东阳·七年级期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
参考答案
1．（1）12；（2）．
【分析】
（1）直接根据有理数的加减计算法则进行求解即可；
（2）先计算绝对值和乘方，然后根据有理数的混合计算法则进行求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题主要考查了有理数的加减计算，绝对值和含乘方的有理数混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
2．（1）-49；（2）
【分析】
（1）先算乘方，再计算括号内的，最后计算加减法；
（2）先算乘方，同时利用乘法分配律展开计算，再算括号内的，最后计算除法．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=-49；
（2）
=
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
3．（1）；（2），．
【分析】
（1）先去括号，然后根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
【点睛】
本题主要考查了整式的加减计算，去括号，整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
4．（1）①-3；②1；（2）；（3），-4
【分析】
（1）①把正数与负数分别相加，再把结果相加；②先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可；
（2）找出同类项，然后合并即可；
（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可化简；根据平方与绝对值非负的性质可求得m与n的值，并代入化简后的式子中即可求得代数式的值．
【详解】
（1）计算
①原式
② 原式
= 1
（2）原式
（3）原式
∵
∴
解得：
当时，
【点睛】
本题考查了有理数的运算、同类项合并，整式的加减运算中的化简求值，有理数的运算要注意运算顺序，且保证运算准确，整式的加减运算注意符号不要出错，使用乘法分配律时不要漏乘．
5．（1）；（2）
【分析】
（1）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元二次方程即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元二次方程即可；
【详解】
⑴
解：移项得
合并同类项得
系数化为1得
⑵
解：去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为1得
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）甲店花费：6x元．乙店：当时，花费7x元；当时，花费元．（3）①到乙店花费少；②在甲店购买的数量多．
【分析】
（1）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；6×40=240，6×150=900；而乙批发店花费：当一次购买数量不超过50kg时， 7×40=280元；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（150-50）=850元；
（2）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 ：在一次购买数量不超过50kg时，7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（x-50）；
（3）①求出在x=120时，分别求得在各店的花费，比较即可；
②利用（2）的结论，列方程求解即可．
【详解】
解：（1）甲批发店：6×40=240元，6×150=900元；
乙批发店：7×40=280元，7×50+5（150-50）=850元．
故填表如下：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
240
900
…
乙批发店花费/元
280
850
…
（2）甲店花费：6x元；
乙店：当时，花费7x元；
当时，花费元；
（3）①当时，
在甲店花费：（元），
在乙店花费：（元）．
∵720>700，
∴到乙店花费少；
②甲店：当时，，
乙店：当时，．
所以，在甲店购买的数量多．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（1）1cm；（2）cm；（3）cm或cm
【分析】
（1）根据已知条件得到，再根据点C是线段AD的中点，得到，即可得解；
（2）根据三等分点求出AD，再计算即可；；
（3）根据点D在靠近A点和靠近B点分别计算即可；
【详解】
（1）∵点D是线段AB的中点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段AD的中点，
∴；
（2）∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段AD的中点，
∴；
（3）当点D靠近A点时，
∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段BD的中点，
∴；
当点D靠近B点时，
∵点D是线段AB的三等分点，AB = 4cm，
∴，
又∵点C是线段BD的中点，
∴；
∴线段CD的长度是cm或cm．
【点睛】
本题主要考查了与线段中点有关的计算，准确计算是解题的关键．
8．（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由见解析；（3）存在，16°
【分析】
（1）首先根据，是直角，求出∠EOF＝62°，然后根据平分求出∠AOE＝124°，最后根据平角的性质即可求出的度数；
（2）首先根据是直角，平分表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后根据平角的性质即可得到与之间的数量关系；
（3）首先根据是直角，平分求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然后代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；
（2）结论：∠BOE＝2∠COF；
理由如下：
∵∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；
（3）存在；
∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，
∠EOF＝25°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，
∴∠BOE＝130°，
∵2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD），
即2∠BOD+25°＝（130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．
【点睛】
此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分析图形中各角之间的关系．
9．（1）；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）30或12
【分析】
（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义求得，继而根据求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可.
【详解】
（1），
∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=120°÷2=60°，
，
∠CON=；
（2）∠AOM-∠NOC=30°，
理由如下：如图，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，∠CON=∠AOC=30°，
∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
故答案为：30或12．
【点睛】
本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用.
10．（1）50，5050；（2）2550；（3）
【分析】
（1）根据题干中的示例计算即可得解；
（2）根据两数之和为102，再乘以数字的个数即可得；
（3）将所有的a相加、所有含b的式子相加，含b的代数式利用以上求和方法求解可得．
【详解】
解：（1）
，
故答案为：50、5050；
（2）
；
（3）原式
．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握．
11．（1）；（2）1976
【分析】
（1）由等式可知，左边为连续奇数的和，右边为奇数个数的平方，由此可找到规律进行解答；
（2）根据题意得出原式=，进而求出即可．
【详解】
解：（1）从1到49，奇数个数为： 个，
∴；
（2）由题意得：
=
=
=
【点睛】
本题是一道找规律题目，要求学生通过观察、分析，归纳其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是找到式子的规律．
12．（1）1；（2）-2；（3）3．
【分析】
（1）将时，代入代数式即可求得；
（2）将，代入方程得到①，将时，代入代数式得到：②，②代入①即可求得；
（3）分别求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】
（1）将时，代入代数式，得：
，
解得；
（2）由题意，时，
即①
将时，代入代数式，得：
即②
将②代入①得：
解得
（3）将代入代数式，得：
，
由（1）可知①
代入，得：
又由（2）可知
即
两边乘以3，得：②
②-①得：③
将③代入代数式，得：
当时，，即，
时，
由题意，当时，
将代入，得：
【点睛】
本题考查了整式的加减，等式的性质，一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
13．（1）小时；（2）小时；（3）或小时
【分析】
（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；
（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；
（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．
【详解】
（1）甲在段所需时间为：小时，
甲在段所需时间为：小时，
甲在段所需时间为：小时，
所以甲从A到B地所需要的时间为小时．
答：甲从A到B地所需要的时间为小时．
（2）乙在段所需时间为：小时，
乙在段所需时间为：小时，
，甲在段所需时间为，
甲乙会在段相遇，
同时出发，则甲走了小时，走了千米，
甲乙相遇时间为小时．
答：两人出发后经过小时相遇．
（3）设甲，乙经过小时后，两人相距10千米，
①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲走的路程为：，乙走的路程为：，
，
解得：
②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，
此时，甲的路程为，乙的路程为，
，
解得：
甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
答：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出正确的方程．
14．（1）2；（2）1cm；（3）1秒或秒
【分析】
（1）把x=-3代入方程，即可求出k；
（2）先求出AC的长，再求出CD的长即可；
（3）设经过x秒时，有PD=3QD．分别表示出x秒时P与Q在数轴上表示的数，分两种情况进行讨论：①D在PQ之间；②Q在PD之间．
【详解】
解：（1）把x=-3代入方程（k+3）x+2=3x-2k得：-3（k+3）+2=-9-2k，
解得：k=2；
（2）当k=2时，BC=2AC，AB=6cm，
∴AC=2cm，BC=4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，
∴CD=AC=1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为-2，AD=CD=1，AB=6，
∴D点表示的数为-1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD=3QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是-2-2x，4-4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD=3QD，
∴-1-（-2-2x）=3[4-4x-（-1）]，
解得x=1；
②当点Q在PD之间时，
∵PD=3QD，
∴-1-（-2-2x）=3[-1-（4-4x）]，
解得x=，
答：当时间为1秒或秒时，有PD=3QD．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合分情况进行讨论是解此题的关键．也考查了一元一次方程的解，线段的中点等知识．
15．（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【分析】
（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °)
=m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °)
=180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
16．（1）8，3t，8＋t；（2） ；（3）2或6
【分析】
（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t则 ，，则求解即可；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，则，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，
∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t，
故答案为：8，3t，8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t
∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点，
∴， ，
∴，
∴；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，
∴，
解得t=2或6．
∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度．
【点睛】
本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，线段的中点问题，解题的关键在于能够准确找到线段之间的关系．
17．（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【分析】
（1）分别算出秒时转过的角度，用减去转过的角度即可；
（2）分两种情况进行讨论：相遇前以及相遇后，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别进行计算即可．
【详解】
（1）当时，，
∴．
（2），，
与相遇前，当时，
∵，
∴，
，
与相遇后，时，
，
∴不垂直，
当时，
，
∵，，
∴，
，
综上所述，当或60时，．
（3）当平分时，
，
∴，
，
当平分时，
，
，
，
，
当平分时，
，
，
（不合题意），
综上所述，当或时，
、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
【点睛】
本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
18．（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴ ，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（2）．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图1，当在的左侧时，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，
∴．
∴；
如图2，当在的右侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，．
综上所述，的度数为或．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．
19．（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解．
【详解】
解：（1）由题意得，
，
，
故答案为；
（2），，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
（3）①当在的内部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
；
②当在的外部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】
本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
20．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2)∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP= (∠MOP+∠NOP)=，∠BOP=∠BOM=30°，
∴∠AOP=90°-30°=60°
∴∠BOP=∠AOP
∴OP是∠AOB的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，
当OP在OB上方时，∠BOP=80°-12t ，∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴
解得：t=5；
当OP在OB下方时，∠BOP= 12t-80°， ∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴，
解得：t=
综上所述：运动时间为5秒或秒.
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