2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点巩固础练习卷

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点巩固础练习卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何知识点巩固练习卷一、选择题在空间，下列命题正确的是  A．如果平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任意一条直线，则  B．如果直线 与平面 内的一条直线平行，则  C．如果直线 与平面 内的两条直线都垂直，则  D．如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则  棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，点 ， 分别为面 和线段 上的动点，则 周长的最小值为  A． B． C． D． 如图，若 是长方体 被平面 截去几何体 后得到的几何体，其中 为线段 上异于 的点， 为线段 上异于 的点，且 ，则下列结论中不正确的是  A． B．四边形 是矩形 C． 是棱柱 D． 是棱台 在长方体 中，，，则点 到平面 的距离等于  A．  B．  C．  D．  已知底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱柱的所有顶点均在同一个球面上，则该球的体积为  A．  B．  C．  D．  如图，已知六棱锥 的底面是正六边形，，，则下列结论正确的是  A． B． C． D．直线 与平面 所成的角为  如图，， 分别为棱长为 的正方体的棱 ， 的中点，点 ， 分别为面对角线 和棱 上的动点，则下列关于四面体 的体积正确的是  A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值 C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值 四棱锥 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下（ 平行于主视图投影平面），则四棱锥 的体积    A．  B．  C．  D．  二、多选题在正方体 中，下列各式运算的结果为 的有  A．  B．  C．  D．  在三棱锥 中，三条侧棱 ，， 两两垂直，且 ， 是 的重心，， 分别为 ， 上的点，且 ，则下列说法正确的是  A．  B．  C．  D．  直线 的方向向量为 ，平面 ， 的法向量分别为 ，，则下列命题为真命题的是  A．若 ，则  B．若 ，则  C．若 ，则直线 与平面 所成角的大小为  D．若 ，则平面 ， 的夹角为  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题思考辨析，判断正误．若 ，，，则 ．     正方体 中，（）异面直线 与 所成角的度数为    ；（）异面直线 与 所成角的度数为    ；（）异面直线 和 所成角的度数为    ． 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形．若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小为    ． 如图（），在等腰直角 中，斜边 ， 为 的中点，将 沿 折叠得到如图（）所示的三棱锥 ，若三棱锥 的外接球的半径为 ，则     ． 四、解答题已知点 关于坐标原点的对称点为 ， 关于 平面的对称点为 ， 关于 轴的对称点为 ，求线段 的中点 的坐标． 已知 是坐标原点，且 ，， 三点的坐标分别是 ，，，求适合下列条件的点 的坐标：(1)   ；(2)   ； 如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 ， 分别在 ， 上，， 交 于点 ，将 沿 折到 的位置．(1)  证明：；(2)  若 ，，，，求五棱锥 体积． 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ，Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点 处乘Ⅰ到达二楼的点 处后，沿着二楼面上的圆弧 逆时针步行至点 处，且 为弧 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为 ，，，半径为 米，相邻楼层的间距 米，两部电梯与楼面所成角的大小均为 ．(1)  求此顾客在二楼面上步行的路程；(2)  求异面直线 和 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，，，，，， 分别是棱 ，， 的中点．(1)  求证：；(2)  求证：；(3)  如果 ，求直线 与平面 所成角． 在正三角形 中，，， 分别是 ，， 边上的点，满足 （如图1）．将 沿 折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连接 ，（如图2）．(1)  求证：；(2)  求直线 与平面 所成角的大小；(3)  求二面角 的余弦值．
答案一、选择题1.  【答案】A【知识点】空间的平行关系、空间的垂直关系 2.  【答案】B【解析】提示：作 关于平面 的对称点 ，则有 ，要使 最小，则 、 、 三点共线，所以这时 周长等于 ，取 中点 ，则 ，当 、 、 三点共线时周长有最小值 ．【知识点】棱柱的结构特征 3.  【答案】D【解析】因为 ，，所以 ，又 ，所以 ，又 ，平面 ，所以 ，又 ，所以 是棱柱，所以 正确；因为 ，所以 ，又 ，故 ，所以B正确．【知识点】棱柱的截面分析、直线与平面平行关系的性质、直线与平面垂直关系的性质 4.  【答案】B【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 5.  【答案】A【解析】因为正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，所以正四棱柱体对角线的长为 ，又因为正四棱柱的顶点在同一球面上，所以正四棱柱体对角线怡好是球的一条直径，得球半径 ，根据球的体积公式，得此球的体积为 ．【知识点】球的表面积与体积 6.  【答案】D【解析】解析 ：由三垂线定理，因 与 不相互垂直，排除A；作 于 ，因 ，而 在面 上的射影在 上，而 与 不相互垂直，故排除B；由 ，而 是平面 的斜线，故排除C．解析 ：设底面正六边形边长为 ，则 ，，由 可知 ， 且 ，所以在 中有直线 与平面 所成的角为 ．【知识点】线面角、空间中直线与直线的垂直、直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定 7.  【答案】D【解析】因为 ， 分别为棱长为 的正方体的棱 ， 的中点，所以 ，又 ，故点 到 的距离为定值，则 面积为定值，当点 与点 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 ，当点 与点 重合时， 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值．【知识点】棱锥的表面积与体积 8.  【答案】D【解析】由三视图可知四棱锥的底面矩形的两边长分别为 和 ，高为 ，因此 ．【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体 二、多选题9.  【答案】B；C；D【解析】A. ，故错误；B. ，故正确；C. ，故正确；D. ，故正确．【知识点】空间向量的加减运算 10.  【答案】A；B；D【解析】如图，设 ，，，则 是空间的一个正交基底，则 ，取 得中点 ，则 ， ， ， ， ，所以 ，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确．【知识点】利用空间向量判定面面的垂直、平行关系 11.  【答案】B；C；D【解析】若 ，则直线 平行于平面 或在平面 内，故选项A不正确；若 ，则 也是平面 的法向量，所以 ，故选项B正确；直线与平面的夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若 ，则直线 与平面 所成角的大小为 ，故选项C正确；两个平面的夹角与它们法向量所成的不大于 的角相等，故选项D正确．【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系、空间向量的模、夹角与距离求解问题 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题13.  【答案】 【知识点】平面与平面平行关系的性质 14.  【答案】略；略；略【知识点】异面直线所成的角 15.  【答案】 【解析】如图所示，因为 ，所以 为 与平面 所成角，因为 ，所以 为 与平面 所成角．因为 ．所以 ，解得 ．又 为底面正三角形 的中心，所以 ，在 中，，所以 ．【知识点】线面角 16.  【答案】 【解析】球是三棱锥 的外接球，所以球心 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，，因为 ，，所以 和 关于平面 对称，在平面 内，作线段 的垂直平分线，则球心 在线段 的垂直平分线上，设为图中的 点位置，过 作直线 的平行线，交平面 于点 ，则 ，且 ，因为 在平面 内，所以 ，即三角形 为直角三角形，且斜边 ，所以 ，所以 ，所以四边形 为菱形，又知 ，三角形 为直角三角形，所以 ，所以三角形 为等边三角形，所以 ，故 ．【知识点】组合体、异面直线所成的角 四、解答题17.  【答案】因为点 关于坐标原点的对称点 的坐标为 ，点 关于 平面的对称点 的坐标为 ，点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，所以线段 的中点 的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标运算 18.  【答案】(1)  由题得 ，．因为  所以 ．(2)  因为  所以 ，所以 ．【知识点】空间向量的数乘运算 19.  【答案】(1)  由已知得，，，又由 得 ，故 ．由此得 ，，所以 ．(2)  由 得 ．由 ， 得 ．所以 ，．于是 ，故 ．由（）知 ，又 ，，所以 ，于是 ．又由 ，，所以 ．又由 得 ．五边形 的面积 ．所以五棱锥 体积 ．【知识点】棱锥的表面积与体积、空间中直线与直线的垂直 20.  【答案】(1)   ； (2)   ．【知识点】异面直线所成的角、圆柱的结构特征 21.  【答案】(1)  取 中点 ，连接 ，．因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 且 ．又因为菱形 中， 是 的中点，所以 且 ．所以 且 ．所以 为平行四边形．所以 ．又因为 ，，所以 ．(2)  连接 ，因为 中 ，点 棱 的中点，所以 ．又 ，，，所以 ，所以 ．因为底面 为菱形，， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，．所以 ，因为 ，所以 ．(3)  因为 ，所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角，取 中点 ，连接 ．所以 且 ．因为 ，所以 ．所以 即为所求角．因为 ，所以正 ，所以 ．直线 与平面 所成角 ．【知识点】线面角、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定 22.  【答案】(1)  在图 1 中，取 的中点 ，连接 ．因为 ，所以 ，而 ，所以 是正三角形，又 ，所以 ，在图2中，，，所以 为二面角 的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，所以 ．又 ，所以 ，即 ．(2)  建立分别以 ，， 为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，则 ，，，，，则 ，，．设平面 的法向量 ，由 知，，，即 令 ，得 ，，．所以直线 与平面 所成的角为 ．(3)  ，，设平面 的法向量为 ．由 知，，，即 令 ，得 ，，．所以二面角 的余弦值是 ．【知识点】线面角、空间向量的应用、二面角、直线与平面垂直关系的判定