2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角巩固练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--二面角巩固练习卷（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何二面角巩固（共22题） 一、选择题（共8题）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为  A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 如图所示，在三棱锥 中，，，则二面角 的大小为  A．  B．  C．  D．  平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，则平面 与平面 夹角的余弦值为  A．  B．  C．  D．以上都不对 设三棱锥 的底面是以 为直角顶点的等腰直角三角形，， 是线段 上的点（端点除外），记 与 所成角为 ， 与底面 所成角为 ，二面角 为 ，则  A． ，  B． ，  C． ，  D． ，  在平面 内，已知 ，过直线 ， 分别作平面 ，，使锐二面角 为 ，锐二面角 为 ，则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  、在正方体 中，平面 与平面 所成二面角的余弦值为  A．  B．  C．  D．  在三棱锥 中，二面角 ， 和 的大小均等于 ，，设三棱锥 外接球的球心为 ，直线 与平面 交于点 ，则    A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）如图，在直三棱柱 中，，，，， 是 的中点，点 在棱 上且靠近 ，当 时，则  A．  B．  C．  D．二面角 的余弦值为  给出下列说法其中正确的是  A．两个相交平面组成的图形叫作二面角 B．异面直线 ， 分别和一个二面角的两个面垂直，则 ， 所成的角与这个二面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 在正方体 中，下列选项中说法正确的是  A．  B． 与 所成的角为  C．二面角 的平面角为  D． 与平面 所成的角为  如图，在直三棱柱 中，，，点 ， 分别是线段 ， 上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是  A．  B．该三棱柱的外接球的表面积为  C．异面直线 与 所成角的正切值为  D．二面角 的余弦值为  三、填空题（共4题）已知两条平行线 ， 分别在二面角 的两个面内，， 在 上的射影分别为 ，，若 ，，则 与 的距离是    ． 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是    ． 正三棱锥底面边长为 ，侧面与底面所成二面角为 ，则它的全面积为    ． 二面角 是 ，其内一点 到 ， 的距离分别为 和 ，则点 到棱 的距离为    ． 四、解答题（共6题）如图，在三棱锥 中，，，．(1)  若 ，求证：；(2)  若 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的余弦值． 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，，， 是 的中点，作 交 于点 ．(1)  证明：；(2)  证明：；(3)  求二面角 的大小． 如图所示，圆锥的顶点为 ，底面中心为 ，母线 ，底面半径 与 互相垂直，且 ．(1)  求圆锥的表面积；(2)  求二面角 的大小（结果用反三角函数值表示）． 如图，在四棱锥 中，，，，，，．(1)  证明：；(2)  求平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值． 如图，在多面体 中， 是边长为 的等边三角形，，，，点 为 的中点，．(1)  求证：；(2)  线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，试指出点 的位置；若不存在，请说明理由． 如图，已知长方体 ，，，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于 ．(1)  若 为棱 上的动点，试确定 的位置使得 ，并说明理由．(2)  若 为棱 上的中点；求点 到平面 的距离．(3)  若 为棱 上的动点（端点 ， 除外），求二面角 的大小的取值范围．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【解析】如图，在正方体 中， 是 的中点，二面角 的两个半平面与二面角 的两个半平面是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【知识点】二面角 2.  【答案】A【解析】因为 ，所以 ，，所以 即为二面角 的平面角，又 ，所以二面角 的大小为 ．【知识点】二面角 3.  【答案】B【解析】因为 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 4.  【答案】C【解析】因为 ， 在平面 内，则由最小角定理得 ，，则 ．过点 作 ，连接 （图略），则 ，，而 ，，所以 ，则 ．又因为 ，，所以 ，所以 ，则 ．【知识点】线面角、二面角 5.  【答案】A【解析】由题意以平面 为底面，以平面 ， 为两相邻的侧面构造正四棱锥 ，设正四棱锥的底面边长为 ，以点 为坐标原点，以 ， 所在直线，过点 垂直于平面 的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则由题意易得 ，，，，则 ，，，设平面 的法向量为 ，则有 令 ，得平面 的一个法向量为 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，则平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 ，故选A．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 6.  【答案】B【解析】以 点为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为 ，则 ，，，所以 ，，设平面 的一个法向量为 ，则有 即 所以 令 ，则 ，所以 ．易得平面 的一个法向量为 ，所以 ，平面 与平面 所成二面角的平面角为锐角，所以余弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 7.  【答案】C【解析】以点 为原点，，， 所在直线分别为 ，轴 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为 ，则 ，，，，．所以 ，，，．所以 和 分别是平面 和平面 的法向量．又 ，结合图形可知平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 8.  【答案】D【解析】依题意，如图①，易知点 在平面 内的射影为三角形 内切圆的圆心 ，设内切圆的半径为 ，则 ，解得 ，又二面角 ， 和 的大小均等于 ，所以 ．设 的外接圆圆心为 ，易知 ，又 ，所以 ，故点 ，，， 四点共面，且 ，又 在平面 内，且 在平面 内，所以 在 上，即 ，， 三点共线．现在研究 的长度，过 作 ，交 的延长线于 ，如图②，在图①中，易知 ，，故 ，显然 ，设 ，由 ，即 ，得 ，解得 ，所以 ，所以 ．【知识点】二面角 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】依题意可知 ，，，以 为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设 ，，则 ，，，，，，，．所以 ，．因为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍），所以 ，，故B正确． ，故A不正确．因为 ，所以 ，故C不正确．取平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ， ，，由 即 取 ，则 ，，所以 ．显然二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．故D正确．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 10.  【答案】B；D【解析】对于A，显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误；对于B，因为 ， 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故B正确；对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确．【知识点】二面角 11.  【答案】A；B；C【解析】对于A，连接 ，则 ．因为 ，所以 ，故A正确．对于B，连接 ，因为 ，所以 即为 与 所成的角．因为 为等边三角形，所以 与 所成的角为 ，故B正确．对于C，因为 ，，所以 ．因为 ，所以 是二面角 的平面角．因为 是等腰直角三角形，所以 ，故C正确．对于D，因为 ，所以 是 与平面 所成的角．因为 ，所以 ，故D错误．故选ABC．【知识点】异面直线所成的角、二面角、线面角 12.  【答案】A；D【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，因为 ，所以 ，所以 ，所以A项正确；因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，易知 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以B项错误；因为 且 为锐角，所以异面直线 与 所成角为 ，在 中，，，所以 ，所以C项错误；二面角 即为二面角 ，以 为坐标原点，，， 的方向分别为 ，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ，所以 ，同理求得平面 的一个法向量为 ，由图易知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ，所以D项正确．故选AD．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、二面角 14.  【答案】 【解析】如图，三棱锥 的棱长都相等，取 中点 ，连接 ，，因为三棱锥 各棱长均相等，所以 ，，所以 是二面角 的平面角，设棱长 ，则 ，所以 ．即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是 ．【知识点】二面角 15.  【答案】 【解析】设正三棱锥为 ，作正棱锥 的高 ，作 垂直于 于 ，连接 ，则角 为 ，，， 为底面的中心，，，，它的全面积为：．故答案为：．【知识点】二面角 16.  【答案】  【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、二面角 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为 ， ，， ，所以 ，因为 ，所以 ．又 ，，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  如图，过 作 于点 ，因为 ，所以 ，所以 ，不妨设 ，所以 ，以 为原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过 点且平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，因此 ，，，．设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，可得 ，设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，可得 ，所以 ，易知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 18.  【答案】(1)  连接 交 于点 ，连接 ，在 中，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，因为 ，，所以 ．(2)  因为 ，，，所以 ，，因为 可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中点，所以 ，因为底面 是正方形，所以 ，又 ，，所以 ，而 ，所以 ，又 ， 于 点，，所以 ，所以 ，又 ，且 ，，所以 ．(3)  以 为原点，，， 所在直线为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，设 ，则 ，，，设平面 的一个法向量为 ，由（Ⅱ）中 ，可得 为平面 的一个法向量，可取 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，，因为   取 ，则  ，所以二面角 的大小为 ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定 19.  【答案】(1)   ，， ， ， ． (2)  以 为坐标原点，以 ，， 所在的直线分别为 ，， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，得 ，故 为直角三角形，于是 ，所以 ，，，于是 ，．设平面 的法向量 ，则 即 不妨令 ，则 ，，所以 ．且平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，则 ，．故二面角 的大小为 ． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、圆锥的表面积与体积 20.  【答案】(1)  因为 , ,所以 ,同理 , ,所以 ,又因为 ,由勾股定理知 ,又因为 , , ,所以 ,所以 .(2)  方法一：取 的中点 ，连接 则 .因为 所以 取 的中点 ，连接 则 因为 所以 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 , , , , .设平面 的法向量 ,则 所以 令 可得平面 的一个法向量 ,又平面 的一个法向量为 .因此所以平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值为 .方法二：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , , , , ,以下同方法一.方法三：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , , , , ,设平面 的法向量 ,则 所以 令 ,可得平面 的一个法向量 ,又平面 的一个法向量为 .以下同方法一.【知识点】直线与直线的位置关系、二面角、空间向量的应用 21.  【答案】(1)  因为 ，点 为 的中点，所以 ．因为 ，，所以 ．因为 ，，所以 ，，所以 与 都是直角三角形，故 ，．又 ，所以 ，所以 ．因为 ，，所以 ．(2)  连接 ，以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，设存在 ，使得二面角 为直二面角，易知 ，且 ．设平面 的法向量为 ，则由 ，，得 令 ，得 ，，故 ．设平面 的法向量为 ，则由 ，，得 令 ，得 ，，故 ．由 ，得 ，故 ．所以当 为线段 上靠近点 的八等分点时，二面角 为直二面角．【知识点】直线与平面平行关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 22.  【答案】(1)  延长 交 于点 ，因为 ，所以 就是直线 与平面 所成的角，即 ，所以 ，由 ，所以 ，，在 上取点 ，使得 ，连接 ，，因为 ，则 ，，又 ，所以 是平行四边形，则 ，，，则 是平行四边形，所以 ，，所以 是平行四边形，所以 ，所以 ，又 ，，所以 ，即 ．(2)  因为 ，所以 ，由长方体的性质可得，，，，所以 ，所以 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，则由 可得，，所以 ，故点 到平面 的距离为 ．(3)  作 ，垂足为 ，作 于 ，连接 ，则 ，，所以 ，同理 ，因为 ，，所以 ，而 ，所以 ，所以 是二面角 的平面角，设 ，则由 是矩形可得 ， ，则 ，所以 ，又 是锐角，所以 ，所以二面角 的大小的取值范围为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、二面角、平面与平面平行关系的判定