高一数学北师大版选修2-1 第一章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2＞2；

③sin＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　 B．2个

C．3个        D．4个

解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．

答案：B

2．(2011·天津高考)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．

答案：A

3．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定(　　)

A．所有被5整除的整数都不是奇数

B．所有奇数都不能被5整除

C．存在被5整除的整数不是奇数

D．存在奇数，不能被5整除

解析：全称命题的否定为特称命题，除了对结论否定，还要把全称量词改为存在量词．

答案：C

4．在下列结论中，正确的结论为(　　)

①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件

②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件

③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件

④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件

A．①②      B．①③

C．②④      D．③④

解析：①③正确．对②，“p且q” 为假，则p、q中至少一个为假，不能得“p或q”为真；对④，“綈p”为真，则p为假，应为“p且q”为假的充分不必要条件．

答案：B

5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．

答案：B

6．给出下列四个命题：

①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；

②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；

③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；

④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么(　　)

A．①的逆命题为真     B．②的否命题为真

C．③的逆否命题为假    D．④的逆命题为假

解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.

答案：A

7．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)

A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d

B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限

C．p：x＝1，q：x2＝x

D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数

解析：对于选项A：p不能推出q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．对于选项B：p⇒q，q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件．对于选项C：p⇒q，q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件．对于选项D：p⇔q，所以p是q的充要条件．

答案：A

8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知B正确．

答案：B

9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0，命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是(　　)

A．p是真命题      B．q是假命题

C．綈p是假命题     D．綈q是假命题

解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，

∴命题p假，綈p真；

又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，

∴q真，綈q假．

答案：D

10．以下判断正确的是(　　)

A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题

B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”

C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件

D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件

解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；

又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；

又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，

当最小正周期T＝π时，有＝π，

∴|a|＝1a＝1.

故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

11．“对顶角相等”的否定为_______________，否命题为________________________．

解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．

答案：对顶角不相等　若两个角不是对顶角，则它们不相等

12．a＝3是直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合的________条件．

解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，

∴l1∥l2.

反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2.但a＝－2时，l1与l2重合．

答案：充要

13．命题p：“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意，对任意x∈R，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，

∴

解得：a≥2.

答案：[2，＋∞)

14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：

①命题“p且q”是真命题；②命题“p或綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．

上述结论中，正确结论的序号是________．

解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．

答案：①③④

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：若x＝2且y＝－1，

则＋(y＋1)2＝0，真命题．

否命题：若＋(y＋1)2≠0，

则x≠2或y≠－1，真命题．

逆否命题：若x≠2或y≠－1，

则＋(y＋1)2≠0，真命题．

16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．

(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．

(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．

解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．

p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，

綈p：平行四边形的对角线不一定相等．

由于p假q真，所以p或q真，p且q假，綈p真．

(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．

p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．

綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．

由于p真q真，所以p或q、p且q为真，綈p为假．

17．(本小题满分12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．

解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.方程有两个大于1的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，

即⇔⇔k<－2.

所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.

18．(本小题满分14分)给定p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围．

解：若对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.

若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，

则Δ＝1－4a≥0，得a≤.

因为p且q为假命题，p或q为真命题，

则p，q有且仅有一个为真命题，

故綈p且q为真命题，或p且綈q为真命题，

则或

解得a<0或<a<4.

所以实数a的取值范围是∪.