《数学归纳法》同步练习2（北师大版选修2-2）教案

数学归纳法

双基训练

*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N*)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是(   )。【2】

(A)2k+1      (B)      (C)     (D)

*2.用数学归纳法证明：1+++…+<n(n>1)在验证n=2成立时，左式是(  )。【2】

(A)1                      (B)1+1/2

(C)1+1/2+1/3              (D)1+1/2+1/3+1/4

*3.某个与自然数n有关的命题，若n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得(   )。【2】

(A)当n=6时该命题不成立

(B)当n=6时该命题成立

(C)当n=4时该命题不成立

(D)当n=4时该命题成立

*4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+-=++…+，第一步应验试左式是   ，右式是    。【2】

*5.若要用数学归纳法证明2n>n2(n∈N*)则仅当n取值范围是   时不等式才成立。【2】

**6.用数学归纳法证明：1+a+a2+…+an+1=(a≠1)(n∈N*).【3】

**7.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+=(n∈N*).【3】

**8.用数学归纳法证明：1(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=(n∈N*).【4】

**9.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=(n+1)·( n+2)·(n+3)(n∈N*).【4】

**10.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=.【4】

**11.用数学归纳法证明：。【4】

**12.用数学归纳法证明：.【4】

**13.用数学归纳法证明：【4】

**15.用数学归纳法证明：13+23+…+n3+3(15+25+…+n5)=(n∈N*)。【5】

**16.用数学归纳法证明：(n∈N*).【4】

**17.用数学归纳法证明：

12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).【4】

**18.用数学归纳法证明：

1-2+4-8+…+(-1)n-12n-1=(-1)n-1·(n∈N*).【4】

**19.用数学归纳法证明：(1·22-2·32)+(3·42-4·52)+…+[(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2]=-n(n+1)(4n+3) (n∈N*)【4】

***20.求证：1+2+…+2n=n(2n+1) (n∈N*)【4】

***21.求证：1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+1=n2(n∈N*)【4】

***22.用数学归纳法证明：1·n+2(n-1)+…+n·1=(n∈N*)【5】

***23.当n为正偶数时，求证：

              .【5】

***24.当n>1，n∈N*时，求证：【5】

纵向应用

**1.设n是正奇数，用数学归纳法证明xn+yn能被x+y整除时，第二步归纳法假设应写成(  )。【2】

(A)假设n=k(k≥1)时正确，再推证n=k+2时正确

(B)假设n=2k+1(k∈N*)时正确，再推证n=2k+3时正确

(C)假设n=2k-1(k∈N*)时正确，再推证n=2k+1时正确

(D)假设n=k(k∈N*)时正确，再推证n=k+1时正确

**2.用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是(   )。【2】

(A)2k个    (B)2k-1个    (C)2k-1个   (D)2k+1个

**3.设凸n边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+      。【2】

**4.已知f(x)=，记f1(x)=f(x)，n≥2时，fn(x)=f[fn-1(x)]，则f2(x)=      ,f3(x)=      ,f4(x)=              ，由此得fn(x)=               .【3】

**5.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…第n个式子为     。【2】

***6.求证：.【5】

***7.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，证明：

【4】

***8.求证：(n∈N*)【4】

***9.求证：2n>n3，(n≥10且n∈N*)【4】

***10.求证：当n∈N，用n≥2时，nn>1·3·5·…·(2n-1).【4】

***11.用数学归纳法证明：(n∈N且n≥2)【8】

***12.用数学归纳法证明：【8】

***13.求证：【8】

***14.用数学归纳法证明：【8】

***15.用数学归纳法证明：(a+b>0,n∈N*)【8】

***16.证明：(n≥3,n∈N*)【8】

***17.若，求证：( n∈N*)【8】

***18.设，且，求证：【8】

***19.用数学归纳法证明：(n∈N*)【5】

***20.求证：

***21.求证：

(1)49n+16n-1能被64整除(n∈N*)【4】

(2)(3n+1)7n-1是9的倍数(n∈N*)【4】

(3)1+2+22+…+25n-1能被31整除【4】

(4)62n+3n+2+3n是11的倍数(n∈N*)【5】

***22.求证：

(1)xn-nan-1+(n-1)an能被(x-a)2整除【8】

(2)mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(n∈N*)【5】

***23.用数学归纳法证明：三个连续自然数的立方和能被9整除。【5】

***24.用数学归纳法证明：若x+x-1=2cosθ，则xn+x-n=2cosnθ(n∈N*)【6】

***25.用数学归纳法证明：f(n)=n3+3/2n2+1/2n-1为整数(n∈N*)【5】

***26.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不共点，求证：n条直线

(1)被分割成n2段；

(2)把平面分成1/2(n2+n+2)部分。【10】

***27.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为1/2n(n-3)【5】

***28.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分。【6】

***29.在2与8之间插入n个正数a1，a2,…an，使这n+2个正数依次成等差数列，又在2与8之间插入n个正数b1,b2,…bn，使这n+2个正数依次成等比数列；设An=a1+…+an,Bn=b1·…·bn。

(1)求及的通项公式。

(2)求使f(n)=3An+Bn-10对任意自然数n都能被m整除的最大自然数m之值。【12】

横向拓展

***1.已知函数f1(x)=,fn+1(x)=f1[fn(x)](n∈N*),则f30(x)是(  )。【3】

(A)x          (B)

(C)       (D)

***2.已知1+2·3·32+4·33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为(   )。【2】

(A)a=1/2,b=c=1/4

(B)a=b=c=1/4

(C)a=0,b=c=1/4

(D)不存在这样的a、b、c

***3.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为     。【2】

***4.用an表示n个篮球队单循环赛的场数，则an+1=an+     .【2】

***5.在数列中，a1=-1,a2=1,a3=-2,若对一切n∈N*有an·an+1·an+2·an+3=an+an+1+an+2+an+3且an+1·an+2·an+3≠1,则S4321=     【3】

***6.如图11-1所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2，3,3，6,4，10，…记该数列前n项之和为S(n)，则S(16)=    .【5】

****7.观察下列式子：

32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,362+372+382+392+402=412+422+432+442，…，则第n个式子是     。【5】

****8.设数列满足a1=0，a2=1，对于n>2(n∈N*)有an=2an-1-2an-2，试用数学归纳法证明：an=2·sinл

****9.对于以下数的排列：

2,3，4

3,4，5,6，7，

4,5，6,7,8，9,10

……

(1)求前三项每行各项之和；

(2)归纳出第n行各项的和与n的关系式；

(3)用数学归纳法证明(2)中所得的关系式。【10】

****10.在数列中，an>0,且Sn=1/2(an+)

(1)求a1、a2、a3；

(2)猜测出an的关系式并用数学归纳法证明。【10】

****11.在数列中，若a1=cotx,an=an-1cosx-sin(n-1)x，试求通项an的表达式且证明。【8】

****12.是否存在自然数m，使f(n)=(2n+7)·3n+9对于任意自然数n∈N*都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。【8】

****13.设f(n)=是否存在一个最大的自然数m，使不等式f(n)> 对n∈N*恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m之值，并证明该不等式。【10】

****14.已知数列是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

(1)求数列的通项bn

(2)设数列的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列的前n项和，试比较Sn与的大小，并证明你的结论。(1998年全国高考试题)p.200【10】

****15.设a,b∈N，两直线l1：y=b=与l2：y=的交点为P1(x1,y1)且对n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn-1,0)的连续与直线y=交于点Pn(xn,yn)。

(1)求P1、P2的坐标；

(2)猜想Pn并用数学归纳法证明。【10】

****16.如图11-2，设抛物线y=上的点与x轴上的点构成正三角形   OP1Q1，Q1P2Q2、Q2P3Q3、…，其中Qn在x轴上，Pn在抛物线上，设Qn-1PnQn的边长为an.

求证：a1+a2+…+an=【10】

****17.设a>2，给定数列,其中x1=a，xn+1=(n=1,2,…),求证：xn>2且<1(n<1,2,3,…)【1.5】

****18.设ai>0,i=1,2,…,n,且a1·a2·…·an=1,求证：(1+a1)(1+a2)·…·(1+an)≥2n.【10】

****19.设数列满足关系a1=1，an+an-1=2n(n≥2),数列满足关系：bn+an=(-1)n1/3。证明：是等比数列。【10】

*****20.已知数列，其中an>0，满足an≤-(n=1,2,3,…)

(1)求证：an<1；

(2)求证：当n≥2时，an≤.【8】

*****21.正整数列定义如下：a1=2,a2=7,且-1/2<an+1-≤1/2,n≥2,n∈N*.求证：对一切n>1，an为奇数。【15】

参考答案

双基训练

1.C   2.C   3.C   4.1/2   1/2   5.n≥5    6.～24.略

纵向应用

1.C  2.A   3.π   4.            5.1-4+9-…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1·n2=(-1)n-1(1+2+…+n)   6.～28.略   29.(1)An=5n+10,Bn=4n+2   (2)9

横向拓展

1.D   2.A   3.f(n)=f(n-1)+f(n-2)    4.n   5.-4321   6.164   7.   8.略   9.(1)9；25；49   (2)(2n+1)2   (3)略   10.(1)a1=1,a2=-1,a3=-   (2)an=-,证明略   11.an=   12.mmax=36   13.mmax=17   14.(1)bn=3n-2   (2)Sn>1/3logabn+1   15.(1)P1(a/2,b/2),P2(a/3,b/3)   (2)(a/n+1,b/n+1)    16.～21.略