数学3.2 二倍角的三角函数学案

第十四课时  正弦函数、余弦函数的图象和性质应用

教学目标：

掌握正、余弦函数的性质，灵活利用正、余弦函数的性质；渗透数形结合思想，培养联系变化的观点，提高数学素质.

教学重点：

1.熟练掌握正、余弦函数的性质；

2.灵活应用正、余弦函数的性质.

教学难点：

结合图象灵活运用正、余弦函数性质.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

回顾正、余弦函数的图象及其性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等.

下面结合例子看其应用：

［例1］不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.

(1)sin(－)－sin(－)；

(2)cos(－)－cos(－).

解：(1)∵－＜－＜－＜.

且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数.

∴sin(－)＜sin(－)，    即sin(－)－sin(－)＞0

(2)cos(－)＝cos＝cos

cos(－)＝cos＝cos

∵0＜＜＜π，且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

∴cos＜cos，   即cos－cos＜0

∴cos(－)－cos(－)＜0

［例2］函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是                      (    )

A.x＝－        B.x＝－           C.x＝    D.x＝

方法一：运用性质1′，y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为xk＝－π(k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应.

故选A.

方法二：运用性质2′，y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为xk＝ (k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应，故选A.

［例3］求函数y＝的值域.

解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1

()2≤13y2＋2y－8≤0

∴－2≤y≤            ∴ymax＝，ymin＝－2

Ⅲ. 课时小结

通过本节学习，要掌握一结论：形如y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω≠0)的T＝；另外，要注意正、余弦函数性质的应用.

Ⅳ. 课后作业

课本P46习题  6、7、12、13

正弦函数、余弦函数的图象和性质应用

1．若<α<，以下不等式成立的是                                         （    ）

A.cosα<sinα<tanα      B.sinα<cosα<tanα

C.cosα<tanα<sinα      D.上述不等式均不成立        

2．若sinx＝，则实数m的取值范围是                                   （    ）

A.［0，+∞)  B.［－1，1］     C.(－∞，－1］∪［1，+∞)  D.［0，1］ 

3．下列函数中，图象关于原点对称的是                                       （    ）

A.y＝－｜sinx｜       B.y＝－x·sin｜x｜

C.y＝sin(－｜x｜)       D.y＝sin｜x｜                   

4．如果｜x｜≤，那么函数y＝cos2x＋sinx的最小值为                         （    ）

A.    B.            C.－     D.－1       

5．函数值sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是               .    

6．函数y＝的定义域是                .     

7．cos，－cos，sin的大小关系是                .     

8．函数y＝cos(sinx)的奇偶性是           .       

9．已知＝cosα－sinα，则α的取值范围是                   .

10．求函数y＝的值域.   

11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.

12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?

(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?

正弦函数、余弦函数的图象和性质应用答案

1．A  2．A  3．B  4．B  5．sin2>sin1>sin3>sin4  6．［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)

7．cos<sin<－cos  8．偶函数  9．［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)

10．（－∞，］∪［3，+∞)

11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.

解：∵最大值为a＋|b|，最小值为a－|b|

∴           ∴a＝，b＝±1

12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?

(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?

解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：

2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)

∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋

即2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)为所求.

(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋

得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求.

或：令u＝－2x，则u是x的减函数

又∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，

∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减.

设2kπ－≤－2x≤2kπ＋

解得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)

∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减.

评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.

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