苏教版必修43.2 二倍角的三角函数第二课时学案设计

第二课时  两角和与差的正弦

教学目标：

掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.

教学重点：

两角和与差的正弦公式及推导过程.

教学难点：

灵活应用所学公式进行求值证明.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.

首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?

Ⅱ.讲授新课

一、推导公式

由sinθ＝cos（－θ）

得：sin（α＋β）＝cos ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］

＝cos（－α）cos β＋sin（－α）sinβ

又∵cos（－α）＝sinα，sin（－α）＝cos α

∴sin（α＋β）＝sinαcos β＋cos αsinβ

这一式子对于任意的α，β值均成立.

将此式称为两角和的正弦公式：

S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论?

sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）

＝sinαcosβ－cosαsinβ

即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

这一式子对于任意的α，β的值均成立.

这一式子被称为两角差的正弦公式：

S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.

二、例题讲解

［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值.

分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.

解：sin75°＝sin（45°＋30°）

＝sin45°cos 30°＋cos 45°sin30°

＝·＋·＝

cos 75°＝cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝

tan75°＝＝＝2＋

sin15°＝sin（45°－30°)

＝sin45°cos 30°－cos 45°sin30°＝

或sin15°＝sin（60°－45°）

＝sin60°cos 45°－cos 60°sin45°＝

或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos 75°＝

cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°＝

或cos 15°＝cos （60°－45°）＝

或cos 15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝

tan15°＝＝＝2－

［例2］已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，β∈（π，），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.

分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos （α＋β），应先求出cosα，sinβ.

解：由sinα＝且α∈（，π)

得：cos α＝－＝－＝－；

又由cosβ＝－且β∈（π，）

得：sinβ＝－＝－＝－.

∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×（－）－（－）（－）＝

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝（－）（－）－×（－）＝

由公式S（α＋β）可得

sin（α＋β）＝

∴tan（α＋β）＝

＝＝

Ⅲ.课堂练习

1.求证：＝

证明：右＝

＝＝＝左.

∴原式得证.

2.在△ABC中，sinA＝ (0°＜A＜45°)，cos B＝ (45°＜B＜90°)，求sinC与cos C的值.

解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°

即C＝180°－（A＋B）

又∵sinA＝且0°＜A＜45°         ∴cos A＝

∵cos B＝且45°＜B＜90°        ∴sinB＝

∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］

＝sin（A＋B）＝sinAcos B＋cos AsinB

＝×＋×＝

cos C＝cos ［180°－（A＋B）］

＝－cos （A＋B）＝sinAsinB－cos Acos B＝

对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.

对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.

Ⅳ.课时小结

在前面推导出的C（α＋β）与cos（－α）＝sinα的基础上又推导出两公式，即：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ (S（α＋β））

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））

同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.

Ⅴ.课后作业

课本P100习题  1，2，3.

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