苏教版必修43.2 二倍角的三角函数学案

这是一份苏教版必修43.2 二倍角的三角函数学案，共3页。

掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.
教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcsα
即：sin2α＝2sinαcsα(S2α)
cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
当α＝β时cs(α＋β)＝cs2α＝cs2α－sin2α
即：cs2α＝cs2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝ eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)
当α＝β时，tan2α＝ eq \f(2tanα,1－tan2α)
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cs2α＝1，公式C2α还可以变形为：cs2α＝2cs2α－1或：cs2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠ eq \f(π,2) ＋kπ及α≠ eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝ eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,2) ，k∈Z时tan2α的值不存在).
当α＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2( eq \f(π,2) ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2)≠2sin eq \f(π,6) ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cs2α≠2csαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 eq \f(α,2) 的2倍，将 eq \f(α,2) 作为 eq \f(α,4) 的2倍，将3α作为 eq \f(3α,2) 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝ eq \f(5,13) ，α∈( eq \f(π,2) ，π)，求sin2α，cs2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝ eq \f(5,13) ，α∈( eq \f(π,2) ，π)
∴csα＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \r(1－（ eq \f(5,13) ）2) ＝－ eq \f(12,13)
∴sin2α＝2sinαcsα＝2× eq \f(5,13) ×(－ eq \f(12,13) )＝－ eq \f(120,169) ，
cs2α＝1－2sin2α＝1－2×( eq \f(5,13) )2＝ eq \f(119,169) ，
tan2α＝ eq \f(sin2α,cs2α) ＝－ eq \f(120,169) × eq \f(169,119) ＝－ eq \f(120,119) .
练习题：
1.已知csα＝m，α在第二象限，求sin2α，cs2α，tan2α的值.
解：∵csα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝ eq \r(1－cs2α) ＝ eq \r(1－m2)
∴sin2α＝2sinαcsα＝2 eq \r(1－m2) ·m＝2m eq \r(1－m2)
cs2α＝2cs2α－1＝2m2－1
tan2α＝ eq \f(sin2α,cs2α) ＝ eq \f(2m eq \r(1－m2) ,2m2－1)
或由tanα＝ eq \f(sinα,csα) ＝ eq \f( eq \r(1－m2) ,m)
tan2α＝ eq \f(2tanα,1－tan2α) ＝ eq \f(2m eq \r(1－m2) ,2m2－1)
2.化简cs(θ＋15°)＋cs(θ－15°)－ eq \f(\r(3),2)cs2θ
分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
解：cs(θ＋15°)＋cs(θ－15°)－ eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝ eq \f(1＋cs[2(θ＋15°)],2) ＋ eq \f(1＋cs[2(θ－15°)],2) － eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝1＋ eq \f(1,2) ［cs(2θ＋30°)＋cs(2θ－30°)］－ eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝1＋ eq \f(1,2) ［cs2θcs30°－sin2θsin30°＋cs2θcs30°＋sin2θsin30°］－ eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝1＋ eq \f(1,2) ×2cs2θcs30°－ eq \f(\r(3),2)cs2θ
＝1＋ eq \f(\r(3),2)cs2θ－ eq \f(\r(3),2)cs2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2α＝ eq \f(1－cs2α,2) ，cs2α＝ eq \f(1＋cs2α,2) ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
［例2］若270°＜α＜360°，化简： eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) cs2α) )
解：∵cs2α＝2cs2α－1，csα＝2cs2 eq \f(α,2) －1
∴ eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) cs2α) )
＝ eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) （2cs2α－1）) ) ＝ eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) eq \r(cs2α) )
又∵270°＜α＜360° 135°＜ eq \f(α,2) ＜180°
∴原式＝ eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) csα) ＝ eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) （2cs2 eq \f(α,2) －1）) ＝ eq \r(cs2 eq \f(α,2) ) ＝－cs eq \f(α,2)
［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cs80° sin50°＝cs40°sin70°＝cs20°
∴原式＝ eq \f(1,2) cs80°cs40°cs20°
＝ eq \f(1,2) × eq \f(cs80°cs40°cs20°sin20°,sin20°) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(cs80°cs40°sin40°× eq \f(1,2) ,sin20°)
＝ eq \f(1,2) × eq \f(cs80°sin80°× eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ,sin20°) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(sin160°× eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ,sin20°) ＝ eq \f(1,16)
［例4］求证：8cs4θ＝cs4θ＋4cs2θ＋3
证明：8cs4θ＝8(cs2θ)2＝8( eq \f(1＋cs2θ,2) )2＝2(cs22θ＋2cs2θ＋1)
＝2( eq \f(1＋cs4θ,2) )＋4cs2θ＋2＝cs4θ＋4cs2θ＋3
Ⅲ.课堂练习
课本P108 1、2、3、4.
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 1、2、3、4.