人教版新课标B必修2第二章 平面解析几何初步综合与测试教学设计

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第三十七讲 直线的倾斜角､斜率及直线方程
回归课本1.直线的倾斜角在直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,以x轴为基准,x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.因此,倾斜角的范围是[0°,180°).
2.直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,即斜率k=tanα(α≠90°).设两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则过这两点的斜率注意:因为当α=90°时,tanα不存在,所以此时直线不存在斜率,即与x轴垂直的直线没有斜率,在坐标关系上,表现为该直线上任意两点横坐标相同.但任何直线都有倾斜角,且倾斜角范围为[0°,180°).
3.直线方程的形式(1)点斜式:方程的形式为y-y1=k(x-x1).不能用点斜式表示的直线为与x轴垂直的直线.(2)两点式:方程的形式为 不能用两点式表示的直线为与坐标轴垂直的直线.
(3)斜截式:方程的形式为y=kx+b,不能用斜截式表示的直线为与x轴垂直的直线.(4)截距式:方程的形式为 不能用截距式表示的直线为与坐标轴平行或经过原点的直线.
(5)一般式:方程的形式为Ax+By+C=0(A､B不同时为0),它是关于x、y的二元一次方程.注意:以上几种直线方程的形式,每一种方程形式都有其各自成立的条件和适用范围.我们用待定系数法求出方程的形式,还要注意验证不满足该方程形式的直线是否符合题意,若满足题意,还应再加上该直线.
3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+csα=0,则a、b满足( )A.a+b=1 B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0解析:∵0°≤α<180°,又sinα+csα=0,∴tanα=-1,即 ,∴a-b=0.答案:D
4.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则( )A.0°≤α<180° B.0°≤α<135°C.0°<α≤135° D.0°<α<135°解析:注意直线倾斜角的取值范围,直线l与x轴相交,其倾斜角不能为0°,由 得0°<α<135°.答案:D
5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 ( )A.1条 B.2条C.3条 D.4条解析:注意有直线过原点时截距相等为0和不过原点时倾斜角为135°两种情况.答案:B
类型一直线的倾斜角和斜率解题准备:直线的斜率与倾斜角的关系设直线l的倾斜角为α,斜率为k.(1)0°≤α<180°,k∈(-∞,+∞).(2)当α=0°时,k=0;当0°<α<90°时,k>0.当α=90°时,k不存在;当90°<α<180°时,k<0.
(3)当0°≤α<90°时,k随着α的增大而增大且k≥0;当90°<α<180°时,k随着α的增大而增大且k<0.但不能说直线的倾斜角α越大,斜率k也越大.(4)直线的斜率与倾斜角的关系如图所示.
类型二求直线的方程解题准备:(1)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况;(2)求直线方程常用方法——待定系数法.待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数.
【典例2】求适合下列条件的直线的方程:(1)在y轴上的截距为-5,倾斜角的正弦值是(2)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(3)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
[反思感悟]在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零,若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
类型三 求与直线方程有关的最值问题解题准备:在研究最值问题时,可以从几何图形入手,找到最值时的情形,也可以从代数角度考虑,构建目标函数,进而转化为研究函数的最值问题,这种方法常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同,解题时要注意选择.
【典例3】如图,过点P(2,1)作直线l,分别交x、y正半轴于A､B两点.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
[反思感悟](1)求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数求直线的基本量;(2)本题第(1)小题还存在一个一般规律:已知直线l过点P(a,b),其中a>0,b>0,则当且仅当直线l的斜率为 时,直线l与x轴,y轴的正半轴围成的△ABO的面积S取得最小值2ab.
错源一忽视了直线斜率的变化随倾斜角变化的关系以及直线倾斜角为90°时直线无斜率而致错
[剖析]在直线l的允许活动范围内,l的倾斜角连续变化时,直线斜率的变化并不一定连续,当直线l垂直于x轴(即直线l的倾斜角为90°)时,直线l的斜率不存在.出错的原因是忽视了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系,忽视直线倾斜角为90°时直线无斜率.
[评析]当直线的倾斜角α∈[0°,90°)时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线倾斜角α∈(90°,180°)时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
错源二 混淆“截距”与“距离”或忽视截距为零【典例2】求过定点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程.
[剖析]错解误将直线在x轴和y轴上的截距作为距离使用.
[评析]截距不是距离,直线的横(纵)截距是指直线与横(纵)轴交点的横(纵)坐标.因为截距是一个点的横或纵坐标,所以截距可正､可负,也可以为零.如果不说明横或纵截距,只说截距通常是指纵截距.当题目中出现“截距相等”､“截距的绝对值相等”､“截距互为相反数”,“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,都要考虑“零截距”的情况.
技法一 巧用斜率求函数最值
技法二 巧用斜率证三点共线我们知道,如果三点A,B,C在同一条直线上,那么直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.利用这一特征,我们可以借助直线的斜率证明三点共线.如典例2的解法一即是.