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高中数学一轮总复习课件5.3 等比数列及其前n项和
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这是一份高中数学一轮总复习课件5.3 等比数列及其前n项和，共51页。PPT课件主要包含了课标要求，备考指导，内容索引，知识筛查，知识巩固等内容，欢迎下载使用。
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
作为与等差数列并重的一个特殊数列,复习本节内容时可类比等差数列,牢记相关公式和性质,并注意与等差数列的不同点,重点训练基本量的运算和性质应用.分类讨论和函数与方程思想是本节涉及较多的思想方法,对数学运算的核心素养也有一定的要求.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
问题思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?
必要不充分条件.因为当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0, b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.
(5)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 qn .
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(q为常数)的数列{an}为等比数列.( )(2)等比数列中不存在数值为0的项.( )(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
3.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是数列{an}的前n项和,则S12的值为( )A.21B.42C.63D.54
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3=16,则数列{lg2an}的前4项和等于 .
5.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机 分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).
由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,则lg2a1+lg2a2+lg2a3+lg2a4=lg2(a1a2a3a4)=lg2(16×16)=8.
由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列{an},且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64×210=216,得n=16,即病毒共复制了16次.故所需时间为16×3=48(分钟).
(2)已知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于( )A.189B.72C.60D.33
设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.
(3)已知等比数列{an}中的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4= .
例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.
(1)解 因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.综上,a2=4,a3=8.
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.
解 (1)根据题意可知当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.
命题角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)的值为( )
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .
命题角度2 等比数列前n项和性质的应用例4 在等比数列{an}中,其前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为 .
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5= .
(4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n= .
由题意知公比大于0,由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又S3n=14,所以S4n=14+2×23=30.
解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.
对点训练4已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.综上,数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
例6 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用几年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车300辆,计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型公交车每年比上一年多投入m辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用8年的时间完成全部更换,求m的最小值.(参考数据:1.58≈25.6)
解题心得解答数列应用题需过好“四关”
以数阵为背景的数列问题
所谓数阵,是指将某些数按照一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵中数的排列比较常见的是等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列,解决此类问题的关键是根据数的排列找出其中的规律.
(1)直角三角形数阵排列形状为直角三角形的数阵称为直角三角形数阵.典例1 下面为一个“直角三角形数阵”.
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a(i,j)(i,j∈N*),则a(20,20)= .
(2)等腰三角形数阵排列形状为等腰三角形的数阵称为等腰三角形数阵.典例2 将全体正整数排成一个三角形数阵,如下图所示.
按照以上排列的规律,第n行从左向右的第3个数为 .
(3)矩形数阵排列形状为矩形的数阵称为矩形数阵.典例3 在下面的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么x+y的值为 .
解析:由题意,设第一行构成等差数列{an},且公差为d,可得a1=6,a3=8,则a3=a1+2d,即6+2d=8,解得d=1,则a4=a1+3d=9;设第二行构成等差数列{bn},且公差为d1,可得b1=3,b3=4,
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
作为与等差数列并重的一个特殊数列,复习本节内容时可类比等差数列,牢记相关公式和性质,并注意与等差数列的不同点,重点训练基本量的运算和性质应用.分类讨论和函数与方程思想是本节涉及较多的思想方法,对数学运算的核心素养也有一定的要求.
第一环节 必备知识落实
第二环节 关键能力形成
第三环节 学科素养提升
问题思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?
必要不充分条件.因为当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0, b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.
(5)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 qn .
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(q为常数)的数列{an}为等比数列.( )(2)等比数列中不存在数值为0的项.( )(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
3.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是数列{an}的前n项和,则S12的值为( )A.21B.42C.63D.54
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3=16,则数列{lg2an}的前4项和等于 .
5.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机 分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).
由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,则lg2a1+lg2a2+lg2a3+lg2a4=lg2(a1a2a3a4)=lg2(16×16)=8.
由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列{an},且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64×210=216,得n=16,即病毒共复制了16次.故所需时间为16×3=48(分钟).
(2)已知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于( )A.189B.72C.60D.33
设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.
(3)已知等比数列{an}中的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4= .
例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.
(1)解 因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.综上,a2=4,a3=8.
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.
解 (1)根据题意可知当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.
命题角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)的值为( )
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .
命题角度2 等比数列前n项和性质的应用例4 在等比数列{an}中,其前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为 .
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5= .
(4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n= .
由题意知公比大于0,由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又S3n=14,所以S4n=14+2×23=30.
解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.
对点训练4已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.综上,数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
例6 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用几年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车300辆,计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型公交车每年比上一年多投入m辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用8年的时间完成全部更换,求m的最小值.(参考数据:1.58≈25.6)
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所谓数阵,是指将某些数按照一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵中数的排列比较常见的是等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列,解决此类问题的关键是根据数的排列找出其中的规律.
(1)直角三角形数阵排列形状为直角三角形的数阵称为直角三角形数阵.典例1 下面为一个“直角三角形数阵”.
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a(i,j)(i,j∈N*),则a(20,20)= .
(2)等腰三角形数阵排列形状为等腰三角形的数阵称为等腰三角形数阵.典例2 将全体正整数排成一个三角形数阵,如下图所示.
按照以上排列的规律,第n行从左向右的第3个数为 .
(3)矩形数阵排列形状为矩形的数阵称为矩形数阵.典例3 在下面的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么x+y的值为 .
解析:由题意,设第一行构成等差数列{an},且公差为d,可得a1=6,a3=8,则a3=a1+2d,即6+2d=8,解得d=1,则a4=a1+3d=9;设第二行构成等差数列{bn},且公差为d1,可得b1=3,b3=4,
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