2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：第8章8.2.6知能演练轻松闯关教案
展开
.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是( )
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：选B.因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
.(2012·奉节检测)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.ξ～H(10，3，2)，E(ξ)＝＝.
3.(2012·渝北调研)随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的期望为( )
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
解析：选C.抛掷骰子所得点数X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
p |
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.
4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种1粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，没有发芽的种子数即为补种的种子数，
则X～B(1000，0.1)，∴E(X)＝1000×0.1＝100.
答案：100
一、选择题
1.若X的分布列为
X | 0 | 1 |
p | a |
，则E(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知＋a＝1，则a＝，故E(X)＝0×＋a＝.
2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( )
A．0.70 B．6
C．4.2 D．0.42
解析：选C.得分X～B(6，0.7)，E(X)＝6×0.7＝4.2.
3.已知ξ～B，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.E(ξ)＝n＝15，∴n＝30，
∴η～B，∴E(η)＝30×＝10.
4.(2012·涪陵调研)李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )
A．0.4 B．1.5
C．0.43 D．0.6
解析：选B.途中遇到红灯次数X服从二项分布X～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的期望是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ | 1 | 2 | 3 |
p |
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6.若X、Y是离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则有E(Y)＝aE(X)＋b.利用这个公式计算E(E(ξ)－ξ)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)＋E(－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.
二、填空题
7.(2011·高考上海卷)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
X | 1 | 2 | 3 |
P(ξ＝x) | ？ | ！ | ？ |
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E(ξ)＝________．
解析：由分布列的性质可知2×？＋！＝1，
E(ξ)＝？＋2×！＋3×？＝4×？＋2×！
＝2(2×？＋！)＝2.
答案：2
8.(2012·奉节质检)随机变量X的分布列为
X | 1 | 3 | 5 |
p | 0.5 | 0.3 | 0.2 |
则E(X)＝________．
解析：由数学期望的定义得E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
答案：2.4
9.设离散型随机变量ξ可能的取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________．
解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，①
又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，
即10a＋4b＝1，②
由①②解得a＝，b＝0，
∴a＋b＝.
答案：
三、解答题
.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？
解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，2，…，3000)，
所以P(ξ＝k)＝C·0.04k·(1－0.04)3000－k，
可见ξ～B(3000，0.04)，
所以E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)>100(人)．
所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．
.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.
解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0，1，2，3，4，5)发，则由题意知，P(ξ＝5)＝C0.55＝.
(2)ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
p |
设游客在一次游戏中获得奖金为X元，
故X的分布列为
X | －2 | 0 | 40 |
p |
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
E(X)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元)．
12.(创新题)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
解：(1)(x－3)(x＋2)≤0⇒－2≤x≤3，
则m，n∈{－2，－1，0，1，2，3}，
m＋n＝0有或或或
或，
因此A包含的基本事件为：(1，－1)，(－1，1)，(2，－2)，(－2，2)，(0，0)．
(2)m的可能取值为－2，－1，0，1，2，3，
则m2的可能取值为0，1，4，9，
P(m2＝0)＝P(m2＝9)＝，
P(m2＝1)＝P (m2＝4)＝＝，
因此ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 4 | 9 |
p |
所以其数学期望为E(ξ)＝＋＋＝＋＝.
