高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教学设计及反思

函数模型及其应用

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学习要求

1．了解解实际应用题的一般步骤；

2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；

3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.

自学评价

1．数学模型就是把  实际问题   用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．

2. 数学建模就是把实际问题加以  抽象概括

建立相应的  数学模型    的过程，是数学地解决问题的关键．

3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察  定义域       ．

【精典范例】

例1．写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系．

【解】 

点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．

例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本（万元）、销售收入（万元）以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式.

分析：销售利润销售收入成本,其中成本 (固定成本可变成本).    

【解】总成本与总产量的关系为

.

单位成本与总产量的关系为

.

销售收入与总产量的关系为

.

利润与总产量的关系为

．

例3．大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）．

求：（1）与的函数关系式；

（2）以及处的气温．

【解】（1）由题意，

当时，，

∴当时，，

从而当时，．

综上，所求函数关系为

；

（2）由（1）知，处的气温为

，

    处的气温为．

点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．

追踪训练一

1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是（元），若每售出一件这种商品的收入是元，那么生产并销售这种商品的数量是件时，该企业所得的利润可达到

.

2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（为线段，为某二次函数图象的一部分，为原点）.

（1）写出服药后与之间的函数关系式；

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.

解：（1）由已知得

（2）当时，，得；

当时，，  

得 ，  ∴          ∴， ∴， 

因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时.

【选修延伸】

一、函数与图象  

高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（    ）

A.气温最高时，用电量最多

B.气温最低时，用电量最少

C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加

D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加

答案：C

分析：该题考查对图表的识别和理解能力.

【解】经比较可发现，月份用电量最多，而月份气温明显不是最高.因此项错误.同理可判断出项错误.由、、三个月的气温和用电量可得出项正确.

思维点拔：

数学应用题的一般求解程序

（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；

（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．

追踪训练二

1. 有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式，并求出它的定义域．

分析：关键是用半径与腰长表示上底，由对称性：，故只要求出．

解：设腰长，作垂足为， 连结，则，∴∽，

∴，，

 ∴

∴周长

，

∵是圆内接梯形    

∴，

即，解得，

即函数的定义域为

本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.

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