2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：5.1~5.2知能演练轻松闯关教案

1.已知a、b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　)

A．充要条件　　　　　　 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

解析：选C.若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则.故选C.

2.(2012·梁平质检)适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)

A．x＝0且y＝3    B．x＝0且y＝－3

C．x＝5且y＝2    D．x＝3且y＝0

解析：选A.由，得，故选A.

3.以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)

A．3－3i      B．3＋i

C．－＋i     D.＋i

解析：选A.3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，故所求复数为3－3i.

4.(2012·大足调研)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．

解析：∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.

答案：±1

一、选择题

1.(2012·沙坪坝检测)如果，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)

A．C＝R∪I     B．R∪I＝{0}

C．R＝C∩I     D．R∩I＝∅

解析：选D.用维恩图可得答案．

2.下列说法正确的是(　　)

A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等

B．ai是纯虚数

C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0

D．复数a＋bi不是实数

解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.

3.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)

A．－1      B．1

C．±1      D．－1或－2

解析：选B.∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，

∴，由x2－1＝0得x＝±1，

又当x＝－1时x2＋3x＋2＝0，

当x＝1时x2＋3x＋2≠0，

∴x＝1.

4.(2012·永川检测)对于复数a＋bi(a、b∈R)，下列结论正确的是(　　)

A．a＝0，则a＋bi为纯虚数

B．a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3

C．b＝0，则a＋bi为实数

D．1的平方等于i

解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，1的平方仍为1，只有C对．

5.若(a－2)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　)

A．0       B．2

C．5       D．1

解析：选D.∵，故，

∴a2＋b2＝1.

6.(2012·涪陵调研)“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

解析：选A.当a＝－2时，复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i＝－i，为纯虚数；当复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i为纯虚数时，有，解得a＝±2，故选A.

二、填空题

7.若a－2i＝bi＋1(a、b∈R)，则b＋ai＝________．

解析：根据复数相等的充要条件，得，

∴b＋ai＝－2＋i.

答案：－2＋i

8.若复数z＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝________．

解析：⇒⇒2α＝(2k＋1)π(k∈Z)，

∴α＝kπ＋(k∈Z)．

答案：kπ＋(k∈Z)

9.若实数x、y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则x＝________，y＝________．

解析：由复数相等的充要条件得，解得x＝y＝1.

答案：1　1

三、解答题

若a2－2a＋(a2－3a＋2)i<0，试求实数a的值．

解：由题意知

解得

∴a＝1.

.已知关于实数x，y的方程组

有实数解，求实数a，b的值．

解：根据复数相等的充要条件，得，解得③.把③代入②，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a、b∈R，∴，解得.

.(创新题)已知复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)，求：

(1)使复数z为纯虚数的充要条件；

 (2)使复数z为纯虚数的一个充分不必要条件．

解：(1)由已知得，解得，

所以z是纯虚数的充要条件是.

(2)由(1)得，取条件a＝b>0或a＝－b>0都可以当作充分不必要的条件．