高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计

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一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作lg aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数的公理化定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，
底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1？
【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: lgaa=1；如果a=1或=0那么lgaa就可以等于一切实数（比如lg1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：lga M^n = nlga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，lg(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*lg(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（cmmn lgarithm),并把lg10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural lgarithm),并且把lge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a 〉0，a≠ 1时，ax=N→X=lgaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和零没有对数；
lga 1=0 lga a=1
对数的定义和运算性质
一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作lg(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1 真数大于0
对数的运算性质：
当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：
（1）lg(a)(MN)=lg(a)(M)+lg(a)(N);
（2）lg(a)(M/N)=lg(a)(M)-lg(a)(N);
（3）lg(a)(M^n)=nlg(a)(M) （n∈R）
（4）换底公式：lg(A)M=lg(b)M/lg(b)A (b>0且b≠1） (5) a^(lg(b)n)=n^(lg(b)a) 证明：
设a=n^x 则a^(lg(b)n)=（n^x）^lg(b)n=n^（x·lg(b)n）=n^lg(b)（n^x）=n^(lg(b)a)
对数与指数之间的关系
当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N (对数恒等式）
对数函数
一般地，函数y=lg(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
（3） 函数图像总是通过（1，0）点。
（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。
（5） 显然对数函数无界。
对数函数的常用简略表达方式：
（1）lg(a)(b)=lg(a)(b)
（2）lg(b)=lg(10)(b)
（3）ln(b)=lg(e)(b)
对数函数的运算性质：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
（1）lg(a)(MN)=lg(a)(M)+lg(a)(N);
（2）lg(a)(M/N)=lg(a)(M)-lg(a)(N);
（3）lg(a)(M^n)=nlg(a)(M) （n属于R）
（4）lg(a^k)(M^n)=(n/k)lg(a)(M) （n属于R）
对数与指数之间的关系
当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于lg(a)N
lg(a^k)(M^n)=(n/k)lg(a)(M) （n属于R）
换底公式 （很重要）
lg(a)(N)=lg(b)(N)/lg(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数
lg 常用对数 以10为底
对数函数的常用简略表达方式
（1）常用对数:lg(b)=lg(10)(b)
（2）自然对数:ln(b)=lg(e)(b)
e= 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
性质
定义域：（0，+∞）值域：实数集R
定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；

0 奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
周期性：不是周期函数
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正
底真异对数负
对数函数的历史：
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Expnent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为
Nap．㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。