高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计

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使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1．对数的定义 lg a N＝b 其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）
2．指数式与对数式的互化
ab＝N lg a N＝b
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵lg a 1＝0，lg a a＝1
⑶对数恒等式
(4) lg a ab＝b
Ⅱ.讲授新课
1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lga eq \f(M,N) ＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)
［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.
证明：(1)设lgaM＝p，lgaN＝q
由对数的定义得：M＝ap，N＝aq ∴MN＝ap·aq＝ap+q
再由对数定义得lgaMN＝p＋q，即证得lgaMN＝lgaM＋lgaN
(2)设lgaM＝p，lgaN＝q 由对数的定义可以得
M＝ap，N＝aq， ∴ eq \f(M,N) ＝ eq \f(ap,aq) ＝ap－q，
再由对数的定义得 lga eq \f(M,N) ＝p－q
即证得lga eq \f(M,N) ＝lgaM－lgaN
(3)设lgaM＝p 由对数定义得M＝ap
∴Mn＝（ap）n＝anp 再由对数定义得
lgaMn＝np 即证得lgaMn＝nlgaM
评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.
其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.
(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)
［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：
［例1］求下列各式的值
（1）lg525 （2）lg0.41
（3）lg2(47×25) （4）lg eq \r(5,100)
分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.
解：（1）lg525＝＝2
（2）lg0.41＝0
（3）lg2(47×25)＝lg247＋lg225＝lg222×7＋lg225＝2×7＋5＝19
（4）lg eq \r(5,100) ＝ eq \f(1,5) lg102＝ eq \f(2,5) lg10＝ eq \f(2,5)
［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.
［例2］用lg a x，lg a y，lg a z表示下列各式：
（1）lg a eq \f(xy,z) （2）lg a eq \f(x2· eq \r(y) , eq \r(3,z) )
解：（1）lg a eq \f(xy,z) ＝lg a（xy）－ lg az＝lg a x＋lg ay－lg az
（2）lg a eq \f(x2· eq \r(y) , eq \r(3,z) ) ＝lg a （x2· eq \r(y) ）－lg a eq \r(3,z)
＝lg a x2＋lg a eq \r(y) －lg a eq \r(3,z) ＝2 lg a x ＋ eq \f(1,2) lg ay － eq \f(1,3) lg az
［例3］计算：
（1）lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18 （2） eq \f(lg243,lg9) （3） eq \f(lg eq \r(27) ＋lg8－3lg eq \r(10) ,lg1.2)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0
解法二：
lg14－2lg eq \f(7,3) ＋lg7－lg18＝lg14－lg（ eq \f(7,3) ）2＋lg7－lg18
＝lg eq \f(14×7, （ eq \f(7,3) ）2×18) ＝lg1＝0
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
（2） eq \f(lg243,lg9) ＝ eq \f(lg35,lg32) ＝ eq \f(5lg3,2lg3) ＝ eq \f(5,2)
（3） eq \f(lg eq \r(27) ＋lg8－3lg eq \r(10) ,lg1.2) ＝ eq \f(lg（33）＋lg23－3lg（10）,lg eq \f(3×22,10) )
＝ eq \f( eq \f(3,2) （lg3＋2lg2－1）,lg3＋2lg2－1) ＝ eq \f(3,2)
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P60练习1，2，3，4，5
补充：1.求下列各式的值：
（１）lg 2６－lg 2３ （２）lg５＋lg２
（３）lg 5３＋lg 5 eq \f(1,3) （４）lg 3５－lg 315
解：（１）lg 2６－lg 2３＝lg 2 eq \f(6,3) ＝lg 2２＝１
（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
（3）lg 5３＋lg 5 eq \f(1,3) ＝lg 5 (３× eq \f(1,3) )＝lg 5１＝０
（4）lg 3５－lg 315＝lg 3 eq \f(5,15) ＝lg 3 eq \f(1,3) ＝－lg 3３＝－１
2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1) lg （x y z） （２）lg eq \f(xy2,z) （３）lg eq \f(xy3, eq \r(z) ) （４）lg eq \f( eq \r(x) ,y2z)
解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ
(2) lg eq \f(xy2,z) ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z
＝lg x＋２lg y－lgｚ
(3) lg eq \f(xy3, eq \r(z) ) ＝lg x y3－lg eq \r(z) ＝lg x＋lg y3－ eq \f(1,2) lgｚ
＝lg x＋３lg y－ eq \f(1,2) lgｚ
(4) lg eq \f( eq \r(x) ,y2z) ＝lg eq \r(x) －lg y2 z＝ eq \f(1,2) lg x－（lg y2＋lg z）
＝ eq \f(1,2) lg x－2lg y－lg z
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P63习题 3，5
（二）预习内容：课本P61
补充作业：
1.计算：
(1) lg a２＋lg a eq \f(1,2) （a＞０，a≠１） （２）lg 318－lg 3２
(3) lg eq \f(1,4) －lg25 (4)２lg 510＋lg 50.25
（5）２lg 525＋３lg 264 (6) lg 2（lg 216）
解：(1) lg a２＋lg a eq \f(1,2) ＝lg a（２× eq \f(1,2) ）＝lg a１＝０
（2）lg 318－lg 3２＝lg 3 eq \f(18,2) ＝lg 3９＝２
（3）lg eq \f(1,4) －lg25＝lg（ eq \f(1,4) ÷２５）＝lg eq \f(1,100) ＝lg10－2＝－２
（4）２lg 510＋lg 50.25＝lg 5＋lg 50.25
＝lg 5 (100×0.25)＝lg 525＝２
（5）２lg 525＋３lg 264＝２lg 5＋３lg 226
＝２×２＋３×６＝22
（6）lg 2（lg 216）＝lg 2（lg 2）＝lg 2４＝lg 2＝２
2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)
(1) lg６ （２）lg４ （３）lg12
（４）lg eq \f(3,2) （５）lg eq \r(3) （６）lg32
解：（１）lg６＝lg２＋lg３＝0.3010+0.4771＝0.7781
(2) lg４＝２lg２＝２×0.3010＝0.6020
(3) lg12＝lg(３×4)＝lg３＋２lg２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791
(4) lg eq \f(3,2) ＝lg３－lg２＝0.4771－0.3010＝0.1761
(5) lg eq \r(3) ＝ eq \f(1,2) lg３＝ eq \f(1,2) ×0.4771＝0.2386
(6) lg32＝５lg２＝５×0.3010＝1.5050
3.用lg a x，lg a y，lg a z，lg a（x＋y），lg a（x－y）表示下列各式：
（1）； （２）（）；
（3）（）； （４）；
（5）（）； （６）［］３.
解：(1) ＝－ｚ
＝ eq \f(1,3) ｘ－（２ｙ＋ｚ）＝ eq \f(1,3) ｘ－２ｙ－ｚ；
(2) （ｘ·）＝ｘ＋
＝ｘ＋ eq \f(1,4) （－）＝ｘ－ｙ＋ｚ
＝ｘ－ｙ＋ｚ；
(3) （ｘ）＝ｘ＋＋
＝ｘ＋ｙ－ｚ；
(4) ＝xy－（－）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）；
(5) （·ｙ）＝＋ｙ
＝（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）＋ｙ；
(6) ［］
＝３［ｙ－ｘ－（ｘ－ｙ）］
＝３ｙ－３ｘ－３（ｘ－ｙ）